Профіль Фойгта — розподіл ймовірностей, заданий згорткою лоренціана (розподілу Коші-Лоренца) та гауссіана (нормального розподілу). Його часто використовують для аналізу форму спектрільних ліній. Названий на честь Вольдемара Фойгта.
Визначення Без втрати загальності ми можемо розглядати лише центровані профілі, які мають пік в нулі. Тоді профіль Фойгта дається формулою
де x — відстань від центру лінії, — гауссіан (нормальний розподіл)
і — лоренциан (розподіл Коші-Лоренца)
Інтеграл у визначенні профіля Фойгта можна також виразити як
де Re[w(z)] — дійсна частина обчислена для
У граничних випадках і профіль Фойгта спрощується до і відповідно.
Застосування У спектроскопії профіль Фойгта є результатом згортки двох механізмів розширення, один з яких створює гаусівський профіль (зазвичай, у результаті доплерівського розширення), а інший створює лоренцівський профіль. Профілі Фойгта поширені в багатьох галузях спектроскопії та дифракції. Через витрати на обчислення профіль Фойгта іноді апроксимується за допомогою псевдофойгтівського профілю.
Властивості Профіль Фойгта нормалізований,
оскільки він є згорткою двох нормалізованих профілів. Профіль Лоренца не має моментів (крім нульового), і твірна функція моментів для розподілу Коші невизначена, тому профіль Фойгта також не має твірної функції моментів. З іншого боку, характеристична функція визначена і для розподілу Коші, і для нормального розподілу. Тоді характеристична функція для центрованого профілю Фойгта буде добутком двох характеристичних функцій:
Оскільки нормальний розподіл та розподіл Коші є стійкими розподілами, кожен з них є замкнутим відносно згортки (з точності до зміни масштабу), і з цього випливає, що розподіли Фойгта також замкнутий відносно згортки.
Кумулятивна функція розподілу Використовуючи наведене вище визначення для z, кумулятивну функцію розподілу можна знайти таким чином:
Підставляючи визначення (масштабованої комплексної функції похибок), отримуємо для невизначеного інтеграла:
що може бути пораховано як
де є гіпергеометричною функцією. Для того, щоб функція наближалася до нуля, коли x наближається до мінус нескінченності, необхідно додати константу інтегрування 1/2. Це дає для кумулятивної функції розподілу Фойгта
Нецентрований профіль Фойгта Якщо гаусіан центрований в , а лоренціан — на , то центр згортки знаходиться в , а характеристична функція має вигляд:
Функція густини ймовірності просто зсувається від центрованого профілю на :
де
.
Мода та медіана розташовані в точці .
Похідні
Використовуючи наведене вище визначення для і , першу та другу похідні від розподілу можна виразити через :
і
відповідно.
Часто один або декілька профілів Фойгта або їхні відповідні похідні потрібно підігнати до виміряного сигналу за допомогою . Тоді для прискорення обчислень можна використовувати додаткові частинні похідні. Замість апроксимації матриці Якобі за параметрами , , і за допомогою скінченних різниць можна застосувати відповідні аналітичні вирази. З позначеннями і , такі аналітичні вирази для профілю Фойгта мають вигляд:
Для частинної похідної першого порядку похідні мають вигляд:
Для частинної похідної другого порядку похідні мають вигляд:
Оскільки і відіграють відносно подібну роль у розрахунку , їх відповідні часткові похідні також виглядають досить схожими з точки зору їх структури, хоча вони призводять до абсолютно різних профілів похідних. Частинні похідні за і демонструють подібність, оскільки обидва є параметрами ширини. Усі ці похідні включають лише прості операції (множення та додавання), оскільки обчислювально важкі і легко отримати під час обчислень . Таке повторне використання попередніх обчислень дає змогу робити розрахунки з мінімальними витратами.
Функції Фойгта Функції Фойгта U, V і H (іноді їх називають функцією розширення ліній) визначаються як
де
erfc — додаткова функція помилок, а w(z) — .
Зв'язок з профілем Фойгта Функцію розширення лінії можна зв'язати з профілем Фойгта, використовуючи вираз
де
і
Числові наближення
Функція Теппера-Гарсіа Функція Теппера-Гарсіа, названа на честь німецько-мексиканського астрофізика Тора Теппера-Гарсіа, є комбінацією експоненціальної функції та раціональних функцій, яка наближає функцію розширення лінії. в широкому діапазоні його параметрів. Його отримують із розкладання в усічений степеневий ряд точної функції розширення лінії.
У своїй найбільш ефективній з точки зору обчислень формі функція Теппера-Гарсіа може бути виражена як
де , , і .
Таким чином, функцію розширення лінії можна розглядати, у першому порядку, як чисту функцію Гауса плюс поправочний коефіцієнт, який лінійно залежить від мікроскопічних властивостей поглинаючого середовища (закодований у ). Однак внаслідок раннього обрізання в розкладі ряду похибка апроксимації все ще має порядок , тобто . Це наближення має відносну точність
у всьому діапазоні довжин хвиль , за умови, що . Окрім високої точності, функція легка для реалізації і швидка в обчисленні. Вона широко використовується для аналізу ліній поглинання квазарівList of citations found in the SAO/NASA Astrophysics Data System (ADS): https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2006MNRAS.369.2025T/citations.
Псевдофойгтівське наближення Псевдофойгтівський профіль (або псевдофойгтівська функція) є апроксимацією профілю Фойгта V(x) з використанням лінійної комбінації кривої Гауса G(x) і кривої Лоренца L(x) замість їхньої згортки.
Псевдофойгтівська функція часто використовується для розрахунків експериментальних форм спектральних ліній.
Математичне визначення нормалізованого псевдофойгтівського профілю дається формулою
, де .
є функцією параметра ширини на піввисоті.
Є кілька можливих варіантів для параметра . Проста формула з точністю до 1 % має вигляд:
де тепер є функцією ширин на піввисоті для лоренціана (), гаусіана () і результуючої функції Фойгта (). Загальна ширина на піввисоті описується формулою
Ширина профілю Фойгта Ширина на піввисоті профілю Фойгта може бути знайдена з ширин гаусіана та лоренціана. Ширина на піввисоті гаусіана дається формулою
Ширина на піввисоті лоренціана становить
Приблизне співвідношення (з точністю до 1,2 %) між ширинами профілів Фойгта, Гаусса та Лоренца дається формулою:
За побудовою цей вираз є точним для чистого гаусіана та для чистого лоренціана.
Краще наближення (вперше знайдене Кількопфом) має точність 0,02 % і дається формулою
Знову ж таки, цей вираз є точним для чистого гаусіана або лоренціана. У тій же публікації Кількопфа можна знайти дещо точніший (в межах 0,012 %), але значно складніший вираз.
Примітки
Посилання
http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf, цифрова бібліотека C для складних функцій помилок, надає функцію Фойгта(x, sigma, gamma) із точністю приблизно 13–14 цифр. Оригінальна стаття: Фойгта, Woldemar, 1912, '' Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums '', Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (див. також: http://publikationen.badw.de/de /003395768)