thumb|Wahadło rzeczywiste, którego ruch można opisać za pomocą modelu wahadła matematycznego (Katedra Metropolitalna, miasto Meksyk). Wahadło – ciało zawieszone w jednorodnym polu grawitacyjnym w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi nieprzechodzącej przez środek ciężkości zawieszonego ciała.
W mechanice wyróżnia się dwa podstawowe modele fizyczne wahadeł: matematyczne (proste) – opisujące wahadło jako punkt materialny, zawieszony na nieważkiej nici, fizyczne – opisujące wahadło jako bryłę sztywną.
Ważną cechą wahadeł fizycznego i matematycznego jest niemal pełna niezależność ich okresu drgań od amplitudy, przy założeniu że amplituda drgań jest małaDla amplitudy wahań równej 6° okres drgań wydłuża się o 0,07% w stosunku do okresu drgań przy bardzo małym wychyleniu.. Własność ta, zwana izochronizmem drgań, została odkryta około 1602 roku przez Galileusza, który używał wahadła do pomiaru czasu. Zainspirowany tą zasadą Christiaan Huygens zbudował w 1656 roku pierwszy zegar wahadłowy. Zegary wahadłowe były najdokładniejszymi urządzeniami do pomiaru czasu aż do skonstruowania w latach 30. XX wieku zegarów kwarcowych.
Dla małych amplitud drgań i przy pomijalnie małych oporach ruchu wahadło wykonuje drgania harmoniczne. Równanie opisujące ruch takiego wahadła jest łatwe do rozwiązania. Jednak dla dużych amplitud wahadło drga anharmonicznie, tj. jego okres drgań zależy od amplitudy. Równanie ruchu takiego wahadła ma postać nieliniowego równania różniczkowego, którego rozwiązanie wymaga użycia funkcji nieelementarnej, tzw. funkcji eliptycznej sn Jacobiego.Opis ruchu wahadła komplikuje się jeszcze bardziej, gdy trzeba uwzględnić efekt tłumienia ruchu wahadła. Wtedy efektywne rozwiązanie równania drgań dla dowolnych amplitud wymaga zastosowania metod numerycznych.
Historia W XVII w. Galileusz w czasach swej młodości odkrył izochronizm wahadła oraz fakt, że okres drgań jest proporcjonalny do pierwiastka kwadratowego z długości wahadła. Wykorzystywał wahadło do odmierzania czasu. W 1644 Marin Mersenne wyznaczył długość wahadła sekundowego (tj. wahadła o półokresie drgań równym 1 sekundę). Współczesny mu Stanisław Pudłowski proponował oprzeć wzorzec długości na zjawisku drgań wahadła. W 1657 Huygens przedstawił i opatentował zegar wahadłowy; wynalazek ten szybko rozprzestrzenił się. W 1673 Huygens przedstawił teorię wahadła, w tym zależność okresu drgań wahadła od przyspieszenia ziemskiego. Później Jean Richer odkrył, że okres drgań wahadła zależy od szerokości geograficznej. W 1687 Isaac Newton w pracy Principia zauważył, że przyspieszenie ziemskie można wyrazić poprzez długość wahadła sekundowego. W 1737 Pierre Bouguer wykonywał pomiary przyspieszenia ziemskiego między innymi w Andach. Zauważył, że do pomiaru przyspieszenia ziemskiego wygodniejsze jest mierzenie okresu drgań wahadła o ustalonej długości zamiast pomiar długości wahadła sekundowego (która to metoda wymagała zmieniania długości wahadła tak, by otrzymać okres drgań równy 1 s). Używając wahadeł, porównał gęstość Ziemi z gęstością Kordylierów. Od 1735 Charles Marie de La Condamine prowadził eksperymenty z wahadłami, dopracowując i wykonując pomiary przyspieszenia ziemskiego w różnych miejscach. W 1792 we Francji długość wahadła sekundowego była proponowana jako jednostka długości. Pomysł nie został przyjęty w metrycznym systemie miar. W latach 1825/27 Bessel udoskonalił układ pomiarowy oraz wprowadził układ optyczny do obserwacji ruchu wahadła. W 1817 Henry Kater skonstruował wahadło rewersyjne, dając impuls do dokładnych i bezwzględnych pomiarów przyspieszenia ziemskiego. W latach 1827–1840 Francis Baily skonstruował różne wahadła, w tym wahadło poruszające się w próżni.
Wahadło matematyczne thumb|Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe w układzie biegunowym.
Definicja Wahadłem matematycznym nazywa się punkt materialny poruszający się po okręgu w płaszczyźnie pionowej w jednorodnym polu grawitacyjnym. Wahadło rzeczywiste, złożone z ciała zawieszonego na nici, może być traktowane jako wahadło matematyczne, jeżeli spełnione są następujące założenia: rozmiary ciała są niewielkie w porównaniu z długością nici, nić jest nieważka, nić jest nierozciągliwa, wahadłu nadano prędkość początkową tak, że drga w płaszczyźnie pionowej, na ciało działają jedynie siła ciężkości oraz siła reakcji nici (pomijalne są inne siły, np. siła oporów ruchu ze strony powietrza).
Wahadło matematyczne stanowi szczególny przypadek wahadła fizycznego (patrz niżej).
Równanie ruchu wahadła matematycznego Równanie ruchu wahadła określa wzór
gdzie: – kąt odchylenia wahadła od pionu w chwili przy czym kąt ten przyjmują wartości dodatnie np. dla odchyleń w prawo, a ujemne dla odchyleń w lewo, – przyspieszenie ziemskie, – długość nici.
Przybliżenie I równania ruchu wahadła - założenie małej amplitudy drgań
Równanie ruchu wahadła jest równaniem różniczkowym drugiego stopnia, nieliniowym. Dokładne rozwiązanie takiego równania jest niełatwe. Tu podano pierwszy sposób znalezienia rozwiązania przybliżonego, przy założeniu że wahadło wykonuje drgania o niewielkiej amplitudzie kątowej. Przy takim założeniu funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem (wzór Maclaurina)Wielkość maksymalna kąta, dopuszczalna w tym przybliżeniu, zależy od założonej dopuszczalnej różnicy między wartością dokładną a przybliżoną.:
wówczas równanie ruchu wahadła upraszcza się do postaci
Powyższe równanie jest równaniem drgań harmonicznych.
Rozwiązanie równania dla małych drgań (1) Rozwiązaniem powyższego równania jest zależność kąta wahań od czasu dana wzorem:
gdzie: – amplituda drgań, – częstość kołowa małych drgań, – faza początkowa drgań.
(2) Dla warunków początkowych (tj. w chwili wahadło przechodzi przez położenie równowagi) otrzyma się rozwiązanie:
(3) Okres drgań jest związany z częstością kołową wzorem
Stąd otrzymuje się
Wnioski Z otrzymanych rozwiązań wynika, że gdy wahadło wykonuje małe drgania, to: zależność kąta wychylenia wahadła od czasu jest funkcją harmoniczną, okres drgań nie zależy od amplitudy, a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.
Izochronizm wahadła odkrył już Galileusz w XVI w., własność ta jest słuszna dla małych drgań.
Na wykresie pokazano rozwiązania ruchu wahadła dla małych amplitud drgań obliczone z dokładnego równania wahadła. Wyniki są zgodne z wnioskami, wyprowadzonymi tu z równania przybliżonego dla małych amplitud drgań.
Przybliżenie II równania ruchu wahadła - dwa wyrazy szeregu Maclaurina
Zagadnienie ruchu wahadła można rozwiązać dla dużych amplitud drgań w sposób przybliżony, przybliżając funkcję sinus do dwóch początkowych wyrazów szeregu Maclaurina: . Wówczas równanie ruchu wahadła przyjmuje postać:
Rozwiązanie tego równania ma postać (z dokładnością do wyrazów 3-go rzędu) - przy założeniu warunków początkowych (tj. w chwili wahadło przechodziło przez położenie równowagi):
gdzie: – amplituda drgań o częstości kołowej – amplituda drgań o częstości kołowej - częstość kołowa małych drgań - częstość kołowa drgań wahadła o dużej amplitudzie;
Rozwiązanie powyższe wskazuje, iż wahadło matematyczne nie jest oscylatorem harmonicznym, lecz: ruch wahadła jest złożeniem dwóch drgań harmonicznych mających częstości kołowe oraz i amplitudy odpowiednio równe oraz częstość kołowa drgań zależy od amplitudy (nie występuje izochronizm drgań charakterystyczny dla małych amplitud) częstość kołowa drgań jest mniejsza niż dla drgań o małej amplitudzie; częstość ta maleje wraz ze wzrostem amplitudy amplituda składowych harmonicznych zależą od trzeciej potęgi amplitudy
Z drugiej strony, dla dostatecznie małych wartości częstość kołowa (pulsacja) drgań zbliża się do wartości a amplituda wyższej harmonicznej staje się pomijalnie mała – otrzymuje się drganie harmoniczne o amplitudzie i częstości kołowej która nie zależy od amplitudy.
Uwagi:
Powyższe rozwiązanie przybliżone daje częstość kołową drgań nie odbiegającą od częstości rozwiązania dokładnego o więcej niż 3% dla amplitud drgań Zależności te ilustruje wykres. Jednak błąd średniokwadratowy pomiędzy przybliżonym rozwiązaniem na zależność kąta od czasu a rozwiązaniem dokładnym jest znacznie większy niż ten sam błąd obliczony dla sumy częściowej szeregu Fouriera, np. wziętej tylko dla trzech początkowych wyrazów szeregu (np. dla amplitudy błąd ten jest ponad 170 razy większy). Rozwiązanie przybliżone daje dokładność zadowalającą dla amplitud Dokładniejsze przybliżenie uzyska się, jeśli zamiast przyjąć , gdzie - okres drgań rozwiązania ścisłego, słusznego dla dowolnych amplitud, co omówiono niżej. Wtedy rozwiązanie przybliżone można traktować jako rozwiązanie analogiczne do sumy częściowej rozwinięcia w szereg Fouriera rozwiązania dokładnego , ograniczonej do trzech wyrazów rozwinięcia w funkcje sinusoidalne i kosinusoidalne. Ponownie jednak przybliżenie za pomocą sumy częściowej trzech wyrazów szeregu Fouriera daje znacznie mniejszy błąd średniokwadratowy aproksymacji. Jest to ogólna prawidłowość, stanowiąca treść jednego z twierdzeń analizy Fourierowskiej: spośród wszystkich funkcji, przybliżających daną funkcję za pomocą skończonej kombinacji liniowej funkcji sinusoidalnych i kosinusoidalnych najmniejszy średni błąd kwadratowy aproksymacji uzyska się dla współczynników będących współczynnikami rozwinięcia danej funkcji w szereg Fouriera (por. Dokładności aproksymacji funkcji szeregiem Fouriera).
Okres drgań wahadła dla dowolnie dużych amplitud Zależność czasu drgań od kąta wychylenia wahadła thumb|Zależność okresu drgań wahadła T od amplitudy drgań Rozwiązanie ogólnego równania ruchu wahadła dla dowolnej amplitudy można podać w postaci uwikłanej:
(wyprowadzenie tego wzoru pokazano dalej - w części Wyprowadzenie wzoru na okres drgań wahadła dla dowolnych kątów). Wykonując całkowanie w zakresie od 0 do otrzymuje się zależność czasu od kąta wychylenia wahadła:
Całka w powyższym wzorze jest całką eliptyczną niezupełną pierwszego rodzaju. Okres drgań o dowolnej amplitudzie Przyjmując w powyższym wzorze wartość kąta w granicy górnej całki i mnożąc go przez 4 otrzyma się wzór na okres drgań wahadła o dowolnej amplitudzie drgań:
gdzie jest całką eliptyczną zupełną pierwszego rodzaju.
Z własności całek eliptycznych wynika, że wartość dla rośnie ze wzrostem argumentu . Okres drgań zależy więc od amplitudy i rośnie wraz z jej wzrostem (aż do nieskończoności dla amplitudy drgań , gdy wahadło dąży do górnego położenia w pionie). Zależność tę pokazuje wykres. Częstość kołowa drgań zaś maleje od pulsacji małych drgań do 0 (por. wykres w poprzednim rozdziale).
Obliczanie numeryczne okresu drgań wahadła Całki eliptyczne są stablicowane (patrz np. Tabela wartości całek eliptycznych); obliczanie wartości tych całek jest także zaimplementowane w językach programowania; np. Python używa biblioteki funkcji specjalnych poprzez wywołanie instrukcji:from scipy.special import ellipkzaś instrukcja licząca okres drgań ma postaćT = 4*np.sqrt(L/g) * ellipk(k*k)gdzie - tzw. moduł całki eliptycznej.
Uwaga:
W Python należy liczyć wartość całki eliptycznej z (tzw. parametr całki eliptycznej), nie z samej wartości .
Rozwinięcie wzoru na okres drgań o dowolnej amplitudzie w szeregi (1) Całkę eliptyczną w powyższym wzorze można rozwinąć w szereg Taylora względem , co prowadzi do wzoru
(2) Dokładniejsze przybliżenie uzyskuje się rozwijając całkę eliptyczną w szereg Maclaurina względem (przy czym całka winna być najpierw wyrażona w bazie wielomianów Legendre'a)
Gdy w powyższych wzorach pominie się wyrazy sumy poza pierwszym wyrazem, równym 1, to otrzyma się wzór na okres małych drgań wahadła (patrz wyżej). Kąt graniczny izochronizmu zależy od przyjętej dokładności; dla kąta 6° okres drgań jest o około 0,07% większy od minimalnego.
Dokładne rozwiązanie równania ruchu wahadła dla dowolnych amplitud - ruch oscylacyjny