Szereg harmoniczny – szereg liczbowy postaci:
Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego
nazywają się liczbami harmonicznymi.
Nazwa szeregu pochodzi stąd, że każdy wyraz szeregu od drugiego począwszy jest średnią harmoniczną dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących:
Łatwo też sprawdzić, że każdy wyraz od drugiego począwszy jest równy połowie średniej harmonicznej wszystkich wcześniejszych wyrazów.
Rozbieżność szeregu harmonicznego Szereg harmoniczny jest rozbieżny do nieskończoności
Dowód Mikołaja z Oresme Pomysł poniższego dowodu rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od Mikołaja z Oresme i jest jednym z ważniejszych osiągnięć średniowiecznej matematyki.
Kolejne składniki od drugiego począwszy grupujemy w nawiasy, przy czym każda następna grupa ma dwa razy więcej składników niż poprzednia.
Ponieważ
i ogólnie
więc
Oznacza to, że ciąg sum częściowych jest rozbieżny do .
Dowód Pietra Mengolego W 1650 w pracy dowód rozbieżności podał Pietro Mengoli.
Grupujemy składniki szeregu w nawiasy po trzy składniki od drugiego począwszy:
Ponieważ
i ogólnie
więc
co w efekcie daje
Oznacza to, że ciąg sum częściowych nie spełnia warunku Cauchy’ego; nie jest więc zbieżny.
Dowód Bradleya Bradley podał w roku 2000D.M. Bradley, A note on the divergence of the harmonic series, „American Mathematical Monthly”, 107 (2000), 651. następujący dowód rozbieżności szeregu harmonicznego.
Dla dowolnej liczby spełniona jest nierówność
a stąd
Ciąg sum częściowych można więc oszacować:
Ponieważ
zachodzi
Ciąg liczb harmonicznych Ciąg liczb harmonicznych jest rozbieżny do ale rośnie powoli a jego wzrost można opisać zależnością:
gdzie = 0,5772156649… jest tzw. stałą Eulera. Oznacza to, że szereg harmoniczny rośnie tak szybko jak funkcja logarytm naturalny. Dokładniejsze oszacowanie liczby jest dane wzorem
Niektóre uogólnienia Uogólniony szereg harmoniczny postaci
jest rozbieżny przy dowolnych wartościach
Euler udowodnił rozbieżność szeregu
gdzie jest -tą liczbą pierwszą.
Szeregi harmoniczne wyższych rzędów Szeregiem harmonicznym rzędu α nazywa się szereg postaci:
Szereg ten jest zbieżny dla i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuści się, by przyjmowało wartości zespolone i każdej liczbie dla której szereg jest zbieżny, przypisze się jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazwę funkcji dzeta Riemanna:
Funkcja ta ma podstawowe znaczenie w teorii liczb. Związana jest z nią słynna i nierozstrzygnięta do dzisiaj hipoteza Riemanna.
Ponadto, szereg naprzemienny
jest zbieżny, jednak tylko warunkowo. Wynika to na przykład z rozwinięcia funkcji logarytm naturalny w szereg Taylora.
Natomiast szereg:
gdzie to zmienne losowe przyjmujące z prawdopodobieństwem ½ wartości 1 i -1, jest zbieżny prawie na pewno. Wynika to z twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach, bo wartości bezwzględne zmiennych są wspólnie ograniczone, wartości oczekiwane równe 0, a wariancje równe co jest szeregiem zbieżnym.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Piotr Stachura, Sławny dowód rozbieżności szeregu harmonicznego, kanał Khan Academy na YouTube, 13 sierpnia 2016 [dostęp 2024-06-22].
harmoniczny Kategoria:Szeregi rozbieżne