Szereg harmoniczny – szereg liczbowy postaci:
Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego
nazywają się liczbami harmonicznymi.
Nazwa szeregu pochodzi stąd, że każdy wyraz szeregu od drugiego począwszy jest średnią harmoniczną dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących:
Łatwo też sprawdzić, że każdy wyraz od drugiego począwszy jest równy połowie średniej harmonicznej wszystkich wcześniejszych wyrazów.
Rozbieżność szeregu harmonicznego Szereg harmoniczny jest rozbieżny do nieskończoności
Dowód Mikołaja z Oresme Pomysł poniższego dowodu rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od Mikołaja z Oresme i jest jednym z ważniejszych osiągnięć średniowiecznej matematyki.
Kolejne składniki od drugiego począwszy grupujemy w nawiasy, przy czym każda następna grupa ma dwa razy więcej składników niż poprzednia.
Ponieważ
i ogólnie
więc
Oznacza to, że ciąg sum częściowych jest rozbieżny do .
Dowód Pietra Mengolego W 1650 w pracy dowód rozbieżności podał Pietro Mengoli.
Grupujemy składniki szeregu w nawiasy po trzy składniki od drugiego począwszy:
Ponieważ
i ogólnie
więc
co w efekcie daje
Oznacza to, że ciąg sum częściowych nie spełnia warunku Cauchy’ego;