Algebra (ogólna) czasem: algebra uniwersalna lub abstrakcyjna – to ciąg postaci
gdzie: – pewien zbiór, – pewne wyróżnione elementy, – pewne funkcje, które interpretuje się jako -argumentowe działania w
Przykładami algebr są grupa addytywna
grupa multiplikatywna
oraz pierścień
Algebra ogólna jest przedmiotem badań algebry uniwersalnej (zwanej też algebrą ogólną).
Szczególnie ważną klasę algebr stanowią algebry równościowo definiowalneAlgebrom tym poświęcone są: rozdz. XIV, § 7 w książce: H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968 oraz § 5.5 w książce: .
Definicja Algebrą (lub algebrą ogólną) nazywamy skończony ciąg postaci:
gdzie: jest niepustym zbiorem zwanym nośnikiem (albo uniwersum algebry), są pewnymi elementami zbioru (nazywanymi elementami wyróżnionymi), są działaniami określonymi w zbiorze przy czym jest działaniem -argumentowym, tzn. jest funkcją postaci oraz
Zwykle żąda się aby elementy wyróżnione i działania spełniały pewne własności.
Algebry podobne Dwie algebry:
i
nazywamy algebrami podobnymi (lub algebrami tego samego typu) jeśli oraz oraz dla każdego działania oraz są działaniami o tej samej liczbie argumentów, tzn. oraz .
Działania zgodne z relacją równoważności
Niech będzie relacją równoważności w zbiorze -argumentowe działanie w nazywa się zgodnym z relacją jeśli dla każdych .
W szczególności gdy jest działaniem jednoargumentowym oznacza to, że dla każdych
a gdy jest działaniem dwuargumentowym, to
Innymi słowy działanie w zbiorze jest zgodne z relacją jeśli daje równoważne wyniki na równoważnych argumentach.
Kongruencje Relację równoważności w algebrze nazywa się kongruencją jeżeli dla każdego działanie jest zgodne z relacją .
Algebra ilorazowa
Dysponując kongruencją na algebrze można skonstruować algebrę podobną do Niech będzie zbiorem ilorazowym. Algebrę definiujemy jako
gdzie elementy wyróżnione są skonstruowane jako klasy abstrakcji elementów względem relacji tzn.
a działania są zdefiniowane wzorami:
Aby działania były dobrze zdefiniowane muszą nie zależeć od wyboru reprezentantów Jest to równoważne żądaniu aby dla każdych
co z kolei jest równoważne żądaniu aby relacja była kongruencją.
Homomorfizm algebr Homomorfizmem algebr podobnych i nazywa się funkcję taką, że
dla W szczególności, gdy są działaniami dwuargumentowymi oznacza to
Alternatywne definicje algebry
W algebrze uniwersalnej stosuje się bardziej abstrakcyjną definicję algebry. Niech będzie rozłączną sumą zbiorów. Elementy zbioru nazywamy symbolami i interpretujemy jako symbole działań, przy czym są symbolami działań -argumentowych. Algebrą nazwiemy zbiór wraz z przyporządkowaniem każdemu symbolowi -argumentowego działania Bardzo często wygodnie jest utożsamiać symbole z działaniami
Algebrę można zdefiniować jeszcze inaczej. Parę gdzie jest zbiorem, a nazywa się typem algebry. Parę nazywa się algebrą typu jeśli zbiory i są równoliczne i każdemu odpowiada taki, że Element nazywa się działaniem lub operacją -argumentową.
Przykłady Półgrupa Algebrę nazywa się półgrupą jeśli działanie jest łączne, tzn. dla każdych
Grupa Algebrę nazywa się grupą jeśli jest półgrupą oraz ponadto Dla każdego zachodzi
Dla każdego istnieje takie, że
Element nazywa się elementem neutralnym działania a elementem odwrotnym do lub elementem przeciwnym do i oznacza odpowiednio lub
Grupa abelowa Grupę w której działanie jest przemienne, tzn. dla każdych zachodzi
nazywa się grupą przemienną lub abelową.
Grupa addytywna i multiplikatywna Grupę w której działanie interpretuje się jako dodawanie oznacza się i nazywa się grupą addytywną, a grupę w której działanie interpretuje się jako mnożenie oznacza się i nazywa grupą multiplikatywną.
Pierścień (łączny) Algebrę nazywa się pierścieniem (łącznym) jeśli jest grupą przemienną, jest półgrupą,
ponadto mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, tzn. dla każdych
Zobacz też
algebra nad ciałem
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Algebraic system , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-10-22]. Structure , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-10-22].
Kategoria:Algebra abstrakcyjna