mały|Spirala logarytmiczna w kartezjańskim układzie współrzędnych wykreślona dla .
mały|Fragment zbioru Mandelbrota ukazujący spiralę logarytmiczną.|250x250px
Spirala logarytmiczna (spirala równokątna lub spirala wzrostu) to krzywa płaska przecinająca pod stałym kątem wszystkie półproste wychodzące z ustalonego punktu, zwanego biegunem spirali.
Krzywa ta często pojawia się w naturze. Pierwszym, który opisał spiralę logarytmiczną był Albrecht Dürer (1525), który nazwał ją „nie kończącą się linią” („ewige linie”). Ponad sto lat później krzywa została omówiona przez Kartezjusza (1638), a później szeroko zbadana przez Jacoba Bernoulliego, który nazwał ją „spira mirabilis” („cudowną spiralą”).
Spiralę logarytmiczną można odróżnić od spirali Archimedesa po tym, że odległości między zwojami spirali logarytmicznej rosną w postępie geometrycznym, podczas gdy w spirali Archimedesa odległości te są stałe.
Równanie spirali – współrzędne biegunowe mały|Spirala logarytmiczna (α = 80°) wykreślona dla . Pokazano też linie współrzędnych układu biegunowego. mały|Definicja kąta nachylenia i sektora|250x250px mały|Animacja przedstawia stały kąt pomiędzy okręgiem o środku w początku układu współrzędnych i rosnącym promieniu a spiralą logarytmiczną
We współrzędnych biegunowych, gdy biegun spirali pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, promień wodzący punktu spirali opisuje wzór:
gdzie:
– współrzędna kątowa punktu spirali, , – stałe liczby rzeczywiste, – podstawa logarytmu naturalnego. Stała wyznacza początkowy rozmiar spirali, zaś decyduje o tempie powiększania się (lub pomniejszania) promieni wodzących punktów spirali na jej kolejnych zwojach.
Biegun jest punktem asymptotycznym krzywej, gdy
Równania parametryczne spirali – współrzędne kartezjańskie Równanie spirali można przekształcić na układ równań parametrycznych we współrzędnych kartezjańskich. Z zależności współrzędnych kartezjańskich od
otrzymamy równania parametryczne spirali logarytmicznej:
gdzie – stałe, – parametr równań.
Własności spirali mały|Spirale o parametrach , wykreślone dla ; .
(1) Rysowanie spirali od punktu .
a) Dla oraz promień spirali rośnie do nieskończoności Jeżeli zaczniemy rysowanie spirali od punktu , to dla spirala będzie rozwijać się, oddalając się coraz bardziej od bieguna (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara)
Dla oraz promień spirali maleje do zera (). Jeżeli zaczniemy rysowanie spirali od punktu , to dla spirala będzie zwijać się, zbliżając się coraz bardziej do bieguna (zgodnie z ruchem wskazówek zegara)
b) Dla będzie odwrotnie: dla spirala będzie rosła nieograniczenie, ale zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a dla będzie zwijać się do środka, ale przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
(2) Zwiększenie spółczynnika powoduje, że spirala jest mniej gęsta. (3) Dla spirala „rozprostowuje się”, w granicy dążąc do półprostej
(4) Dla kąt – spirala staje się styczna do okręgu w każdym punkcie, co oznacza, że spirala degeneruje się do okręgu (o równaniu ).(5) Zmiana znaku współczynnika powoduje zmianę skrętności spirali na przeciwną. Jest tak dlatego, że zmiana znaku jest równoważna zmianie znaku zmiennej odpowiada to operacji symetrii osiowej względem prostej i prowadzi do odwzorowania spirali prawoskrętnej w lewoskrętną i odwrotnie.
(6) Współczynnik jest skalą spirali (w funkcji występuje jako mnożnik), odpowiada zatem za skalowanie krzywej. Zmiana jego wartości odpowiada obracaniu spirali wokół bieguna – ponieważ
to -krotne zwiększenie współczynnika odpowiada obróceniu spirali o kąt
(7) Odległość od bieguna kolejnych pętel spirali rośnie w postępie geometrycznym.
Inne własności (8) Kąt nachylenia : kąt ten ma stałą wartość (zob. diagram i animację).
Gdy , to , co oznacza, że krzywa staje się okręgiem o promieniu .
(9) Krzywizna:
(10) Długość łuku:
W szczególności długość łuku od bieguna do punktu spirali jest skończona i wynosi
(11) Pole wycinka:
(12) Inwersja: Inwersja względem promienia () przekształca spiralę logarytmiczną w spiralę logarytmiczną .
Paradoks Wyruszając z dowolnego punktu spirali i idąc po niej można okrążyć biegun dowolną liczbę razy i nie dojść do niego. Jednak droga, którą trzeba przemierzyć od tego punktu do bieguna, jest skończona. Tę własność pierwszy zauważył Evangelista Torricelli jeszcze przed wynalezieniem rachunku różniczkowego i całkowego. Droga ta wynosi: ,
gdzie to odległość (po linii prostej) punktu od bieguna, to stały kąt charakterystyczny spirali (por. definicja wyżej).
Pozorna sprzeczność wynika stąd, że długości kolejnych fragmentów spirali z każdym obrotem o 360 stopni maleją do zera i jest ich nieskończenie wiele. Jednak suma ich jest skończona, gdyż tworzą ciąg geometryczny. Oznacza to, że całkowita długość łuku spirali prowadzącego do bieguna jest skończona mimo nieskończonej liczby obrotów (por. paradoks dychotomii). Szczególny przypadek
Złota spirala to spirala logarytmiczna, której promień wodzący powiększa się na zewnątrz o współczynnik równy złotemu podziałowi przy obrocie o wielokrotności kąta 90°; dla tej spirali parametr ma wartość , a kąt nachylenia . Złota spirala może być przybliżona przez „spiralę Fibonacciego”, złożoną z sekwencji ćwiartek okręgów o promieniach proporcjonalnych do kolejnych liczb Fibonacciego.
Spirale logarytmiczne w przyrodzie W wielu zjawiskach i obiektach w przyrodzie można spotkać się z tworami w kształcie spirali logarytmicznej. Przykłady tego są następujące: Droga, jaką owad leci do źródła światła. Owady zwykły zachowywać stały kąt pomiędzy torem lotu a źródłem światła. Zazwyczaj Księżyc lub Słońce jest jedynym źródłem światła i lecąc według tej reguły, owady poruszają się po linii prostej. Ramiona galaktyki spiralnej. Uważa się, że Droga Mleczna ma 4 główne ramiona, z których każde jest spiralą logarytmiczną o kącie 12°. Ramiona galaktyk spiralnych mają kąty od 10° do 40°. Ramiona tropikalnych cyklonów jak huragany. Wiele biologicznych struktur jak muszle mięczaków. W tym przypadku spiralny kształt jest wynikiem algorytmu: Weź dowolną figurę płaską F0, pomniejsz ją k razy otrzymując F1 i doklej F1 do F0. Następnie pomniejsz F1 k razy otrzymując F2 i doklej F2 do F1 etc. Powtarzanie tego procesu prowadzi do powstania spiralnego kształtu.
Kod do wykreślenia spirali logarytmicznej Podany niżej kod w języku Python korzysta z biblioteki graficznej Matplotlb i rysuje dwie spirale: 1) jedną o parametrach 2). drugą o parametrach . Parametr określa ile razy będzie kreślona połówka skrętu spirali. Zmieniając parametry, można przetestować wyżej podane własności spirali; np. zmieniając znak parametru zmienimy skrętność na przeciwną; dla otrzymamy okrąg; dla otrzymamy jeden zwój spirali; zwiększając zobaczymy, że kreślone są zwoje, które "wchodzą" w stronę środka spirali lub rozwijają się i oddalają od środka w zależności od znaku parametrów .
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt
# parametry a1 = 0.1 a2 = 0.15 b = 0.2 n = 3 theta = np.linspace(0, n*np.pi, 1000)
# spirala 1 r1 = a1 * np.exp(b * theta) x1 = r1 * np.cos(theta) y1 = r1 * np.sin(theta)
# spirala 2 r2 = a2 * np.exp(b * theta) x2 = r2 * np.cos(theta) y2 = r2 * np.sin(theta)
# wykres plt.plot(x1, y1, label=f"a = {a1}") plt.plot(x2, y2, label=f"a = {a2}")
plt.gca().set_aspect('equal') plt.grid() plt.legend() plt.title("Dwie spirale logarytmiczne (różne a)")
plt.show()
Zobacz też lista krzywych spirala Archimedesa spirala Fermata spirala hiperboliczna złota spirala loksodroma
Przypisy
Bibliografia
I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, PWN, Warszawa 2019. I. Dziubiński, T. Świątkowski i inni, praca zbiorowa, Poradnik matematyczny cz. 2, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, str. 748-749.
Linki zewnętrzne SpiralZoom.com – angielska strona poświęcona spiralom. [dostęp 2024-04-11]. Logarithmic spiral , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofma th.org [dostęp 2024-10-05]. Equiangular Spiral , MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].
L Kategoria:Logarytmy