Rozkład Studenta, rozkład t Studenta, rozkład t – ciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często w statystyce w procedurach testowania hipotez statystycznych i przy ocenie niepewności pomiaru. Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli dysponuje się tylko wynikami pomiarów, dla których można wyznaczyć takie parametry, jak średnia i odchylenie standardowe z próby , nieznane są natomiast średnia oraz odchylenie standardowe populacji.
Zagadnienie to rozwiązał w 1908 r. William Sealy Gosset (pseudonim Student), podając funkcję gęstości prawdopodobieństwa zależną od liczby stopni swobody , równej liczbie pomiarów pomniejszanej o 1, , a niezależnej od .
Definicja Rozkład Studenta z stopniami swobody jest rozkładem zmiennej losowej postaci:
gdzie: – zmienna losową mająca standardowy rozkład normalny – zmienna losowa o rozkładzie chi kwadrat o stopniach swobody i – niezależne zmienne losowe
Gęstość prawdopodobieństwa Zmienna losowa określona powyżej ma gęstość prawdopodobieństwa opisaną wzorem:
gdzie:
– funkcja gamma
Własności Rozkłady Studenta mają następujące własności:
są symetryczne i jednomodalne (tzn. mają jedno maksimum) dla dużych wartości zmierzają do standardowego rozkładu normalnego dla małych wartości różnią się od rozkładu normalnego: rozkład Studenta o stopniach swobody ma skończone momenty tylko do rzędu (licząc momenty rzędu i wyższego rzędu uzyskuje się nieskończoności) w szczególności dla rozkład Studenta jest identyczny z rozkładem Cauchy’ego i nie posiada żadnych skończonych momentów
Własności te ilustruje wykres u góry artykułu, przedstawiający gęstości rozkładu Studenta dla kilku wartości liczby stopni swobody ; standardowemu rozkładowi normalnemu odpowiada rozkład z .
Twierdzenia Tw. 1. Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie normalnym o średniej i wariancji oraz niech zmienna losowa będzie określona wzorem
gdzie:
– średnia z próby – odchylenie standardowe z próby – liczebność próby, pobranej z populacji (liczba obserwacji)
Wówczas zmienna ma rozkład Studenta o stopniach swobody.
Użyteczność tego rozkładu wynika stąd, że jest on niezależny od wartości wariancji w populacji , może więc służyć do np. do weryfikowania hipotez statystycznych w przypadku, gdy nie jest znane .
Tw. 2. Jeżeli dwie próby o liczebnościach oraz wartościach średnich oraz i wariancjach wyznaczonych z próby oraz zostały wylosowane z populacji mających taki sam rozkład normalny, to zmienna określona wzorem
ma rozkład Studenta o stopniach swobody.
Zastosowania Zastosowania rozkładu Studenta w metrologii i statystyce opierają się w większości na powyżej podanych dwóch twierdzeniach. Rozkład t jest stosowany w estymacji przedziałowej, w testach parametrycznych, w szczególności dla wartości średnich (test t Studenta, test t Welcha), w testach istotności parametrów statystycznych – zwłaszcza gdy mamy do czynienia z małymi próbami (najczęściej przyjmuje się, że próba jest mała gdy jej liczebność ; dla dużych prób, , rozkład Studenta prawie dokładnie pokrywa się z rozkładem normalnym, można więc stosować rozkład normalny w obliczeniach).
W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji wartości oczekiwanej i wartości odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru oraz serii pomiarów. Np. estymator odchylenia standardowego s należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody i przyjętego poziomu istotności W zastosowaniach najczęściej potrzebne są kwantyle rozkładu Studenta, tj. takie wartości że lub
Wartości te podają tablice rozkładu Studenta. Wyprowadzenie wzoru na gęstość prawdopodobieństwa Funkcję gęstości prawdopodobieństwa można wyprowadzić z definicji. Dowód podaje np. Kubik. Zobacz też
test t Studenta przedział ufności
Przypisy
Bibliografia Gajek Lesław, Kałuszka Marek, Wnioskowanie statystyczne Modele i metody, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993, str. 42–43 (rozkład t Studenta), str. 90–91 (test t Studenta jednej średniej) , str. 99–100 (test t Studenta równości średnich). Lech T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, str. 180–183 (rozkład Studenta). Zieliński R., Tablice statystyczne, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1972.
Linki zewnętrzne Wykresy gęstości, wartości krytyczne i in. obliczane dla podanej przez użytkownika liczby stopni swobody. (O historii terminu „Rozkład Studenta”) Distribution Calculator Kalkulator obliczający prawdopodobieństwa i wartości krytyczne dla rozkładu normalnego, Studenta, chi-kwadrat oraz F Kalkulator rozkładu – polski kalkulator online szacujący wartość statystyki t Studenta dla zadanej liczby stopni swobody Tablice podstawowych rozkładów rachunku prawdopodobieństwa [dostęp 2025-12-13].
Kategoria:Funkcje specjalne Kategoria:Rozkłady ciągłe