Kula – uogólnienie pojęcia koła na więcej wymiarów, zdefiniowane dla wszystkich przestrzeni metrycznych.
Definicja formalna Kula w danej przestrzeni metrycznej – zbiór elementów tej przestrzeni, zdefiniowany jako:
dla pewnych które nazywamy odpowiednio środkiem i promieniem kuli.
W wielu źródłach tak zdefiniowany zbiór nazywany jest kulą domkniętą dla odróżnienia od zbioru określanego jako kula otwarta (inaczej kula bez brzegu) i definiowanego następująco:
Informacja ogólna thumb|Kula w przestrzeni euklidesowej thumb|250px|Kula o środku i promieniu w metryce Manhattan na zbiorze
Intuicyjnie rozumiana kula – w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej dla metryki euklidesowej – jest to część przestrzeni, ograniczona sferą (sfera jest powierzchnią (brzegiem) kuli i również się w niej zawiera).
Taką kulę można wówczas opisać wzorem jako zbiór punktów, których współrzędne spełniają nierówność:
gdzie są współrzędnymi środka kuli, a oznacza jej promień, natomiast w układzie współrzędnych sferycznych, dla środka znajdującego się w środku układu współrzędnych: dla
W -wymiarowej przestrzeni euklidesowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie i promieniu to zbiór punktów których współrzędne spełniają nierówność:
W dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej rolę kul pełnią koła, zaś w przestrzeni – przedziały postaci .
Dla innych metryk kula wyglądać będzie inaczej. Przykładowo, w przestrzeni o metryce Manhattan do kuli należą punkty, spełniające nierówność:
Natomiast w przestrzeni liter alfabetu łacińskiego, gdzie metryką byłaby odległość między poszczególnymi literami w szyku alfabetu, kulą jest np. zbiór – promień tej kuli wynosi 1, a jej środkiem jest
Związane pojęcia Cięciwa kuli to odcinek o końcach na brzegu kuli.
Średnica kuli to cięciwa przechodząca przez środek kuli. Termin ten oznacza również długość tej cięciwy – równą podwojonej długości promienia kuli. Termin ten został uogólniony na wszelkie zbiory w przestrzeni metrycznej (zobacz średnica zbioru).
Koło wielkie kuli to koło o promieniu tej kuli, o środku w środku kuli.
Wzory dla kuli w przestrzeni euklidesowej Objętość -wymiarowej kuli (hiperkuli) o promieniu dana jest wzorem
„Pole” -wymiarowe jej (hiper)powierzchni Objętość 3-wymiarowej kuli: Pole powierzchni 3-wymiarowej kuli:
W powyższych wzorach jest jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, szerzej opisaną w artykule Pi, zaś oznacza funkcję gamma. Pomimo że funkcja gamma jest niezdefiniowana dla niedodatnich liczb całkowitych, uogólnione objętości i powierzchnie -wymiarowych hiperkul to funkcje holomorficzne wymiaru zespolonego . Są one zatem zdefiniowane w każdym wymiarze.
Uwaga: Brzegiem -wymiarowej kuli jest -wymiarowa sfera.
Uogólnienie topologiczne W topologii kulę definiujemy jako rozmaitość topologiczną, homeomorficzną z kulą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.
Zobacz też
czasza kuli (odcinek kuli) hiperkula sfera warstwa kulista wycinek kuli kula ziemska
Przypisy
Bibliografia
Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012.
Linki zewnętrzne
[dostęp 2024-02-01]. Ball , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
Kategoria:Geometria sferyczna Kategoria:Rozmaitości Kategoria:Geometria metryczna