Forma kwadratowa – wielomian jednorodny drugiego stopnia, a także określone przez niego odwzorowanie przestrzeni liniowej w ciało skalarów. W ustalonych współrzędnych ma postać
Wszystkie jego wyrazy mają łączny stopień dwa; dopuszcza się również formę identycznie równą zeru. Nad ciałem o charakterystyce różnej od dwóch forma kwadratowa odpowiada jednoznacznie symetrycznej formie dwuliniowej, a po wyborze bazy – macierzy symetrycznej.
Formy kwadratowe występują między innymi w algebrze liniowej, geometrii analitycznej, teorii liczb, analizie matematycznej, statystyce i mechanice. Opisują na przykład kwadrat długości wektora, część drugiego stopnia rozwinięcia Taylora, wariancję kombinacji liniowej zmiennych losowych oraz energię kinetyczną układu mechanicznego.
Definicja Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem . Odwzorowanie jest formą kwadratową, jeżeli dla każdego i zachodzi
a odwzorowanie
jest dwuliniowe. Definicja ta nie wymaga wyboru współrzędnych i ma sens w dowolnej charakterystyce. Parę nazywa się przestrzenią kwadratową.
W przestrzeni skończenie wymiarowej definicja ta jest równoważna przedstawieniu przez jednorodny wielomian drugiego stopnia. Formy jednej, dwóch i trzech zmiennych nazywa się odpowiednio unarnymi, binarnymi i ternarnymi. Przykładami są
Forma kwadratowa nie jest tym samym co dowolna funkcja wielomianowa stopnia drugiego. Na przykład nie jest formą kwadratową zmiennej , ponieważ zawiera część liniową i wyraz stały. Ogólnie wielomian drugiego stopnia można zapisać jako sumę formy kwadratowej, formy liniowej i stałej.
W dalszej części, poza sekcją dotyczącą charakterystyki dwa, przyjmuje się, że jest skończenie wymiarowa oraz .
Związek z formami dwuliniowymi Jeżeli charakterystyka ciała jest różna od dwóch, to formie kwadratowej odpowiada symetryczna forma dwuliniowa
Spełnia ona
Odwrotnie, każda symetryczna forma dwuliniowa wyznacza formę kwadratową przez wzór . Obie konstrukcje są wzajemnie odwrotne.
W literaturze stosuje się dwie konwencje: formą biegunową lub stowarzyszoną nazywa się albo z definicji, albo . Przy porównywaniu wzorów należy więc uwzględniać czynnik dwa.
Z dwuliniowości wynikają reguła równoległoboku
oraz tożsamość polaryzacyjna
Wektory nazywa się ortogonalnymi względem , gdy . Wówczas .
Przedstawienie macierzowe Po wyborze bazy przestrzeni każdy wektor utożsamia się z kolumną jego współrzędnych . Istnieje dokładnie jedna macierz symetryczna , dla której
Jest to macierz formy kwadratowej w danej bazie. Ta sama macierz przedstawia formę dwuliniową:
Jeżeli we wzorze wielomianowym współczynnik przy , gdzie , wynosi , to
Współczynniki przy kwadratach współrzędnych są elementami przekątnej macierzy.
Na przykład forma
ma macierz
Dowolna macierz kwadratowa , niekoniecznie symetryczna, również określa formę . Zależy ona jednak tylko od części symetrycznej macierzy, ponieważ
Zmiana bazy i równoważność Jeżeli stare i nowe współrzędne są związane zależnością , gdzie jest odwracalna, to
Macierz formy w nowej bazie jest zatem równa
Takie macierze nazywa się przystającymi lub kongruentnymi. Dwie formy są równoważne nad ciałem , gdy jedna przechodzi w drugą przez odwracalną liniową zmianę zmiennych o współczynnikach w .
Kongruencja nie jest tym samym co podobieństwo macierzy, wyrażane wzorem . Pierwsza opisuje zmianę bazy formy dwuliniowej, druga – operatora liniowego. W szczególności dowolna zmiana bazy formy nie musi zachowywać jej wartości własnych.
Rząd, radykał i nieosobliwość Rzędem formy jest rząd jej macierzy; nie zależy on od wyboru bazy. Radykałem nazywa się podprzestrzeń
W przedstawieniu macierzowym radykał odpowiada jądru . Forma jest nieosobliwa lub niezdegenerowana, gdy jej radykał jest zerowy, czyli gdy .
Wyznacznik macierzy zależy od bazy, ale przekształca się według wzoru
Dlatego dla formy nieosobliwej niezmiennikiem jest klasa w grupie . Nazywa się ją wyznacznikiem formy; w części literatury także jej wyróżnikiem. Inna konwencja definiuje wyróżnik z dodatkowym czynnikiem .
Diagonalizacja Każdą formę kwadratową nad ciałem charakterystyki różnej od dwóch można sprowadzić przez odwracalną liniową zmianę zmiennych do postaci
Część współczynników może być zerowa. Jest to diagonalizacja przez kongruencję; odpowiada wyborowi bazy ortogonalnej względem stowarzyszonej formy dwuliniowej. Jedną z metod jej uzyskiwania jest metoda Lagrange’a, polegająca na kolejnych uzupełnieniach do kwadratu.
Dla wcześniej podanego przykładu
Podstawienie , , daje więc postać diagonalną.
Nad liczbami rzeczywistymi możliwa jest również diagonalizacja ortogonalna. Z twierdzenia spektralnego wynika, że dla rzeczywistej macierzy symetrycznej istnieje macierz ortogonalna taka, że
gdzie są wartościami własnymi . Zmiana zachowuje standardowe długości i kąty. Dowolna diagonalizacja przez kongruencję nie musi mieć tej własności.
Formy rzeczywiste Prawo bezwładności Sylvestera
Każda forma kwadratowa na jest równoważna formie
niezależnej od pozostałych współrzędnych. Liczby są jednoznacznie wyznaczone przez formę. Jest to prawo bezwładności Sylvestera.
Liczby i to dodatni i ujemny indeks bezwładności, a jest wymiarem radykału. Można je obliczyć jako liczby dodatnich, ujemnych i zerowych wartości własnych dowolnej macierzy symetrycznej przedstawiającej formę. Rząd formy wynosi . Termin sygnatura bywa używany dla pary albo dla różnicy ; konwencję należy określić. Przy ustalonym wymiarze para rozstrzyga o równoważności form rzeczywistych.
Określoność
Dla rzeczywistej formy kwadratowej wyróżnia się następujące własności:
Własność Warunek Wartości własne macierzy symetrycznej Dodatnia określoność dla każdego Wszystkie dodatnie Ujemna określoność dla każdego Wszystkie ujemne Dodatnia półokreśloność dla każdego Wszystkie nieujemne Ujemna półokreśloność dla każdego Wszystkie niedodatnie Nieokreśloność Forma przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne Co najmniej jedna dodatnia i co najmniej jedna ujemna
W tej konwencji dodatnia określoność pociąga dodatnią półokreśloność; analogicznie dla znaków ujemnych. Forma zerowa jest jednocześnie dodatnio i ujemnie półokreślona.
Kryteria macierzowe
Niech oznacza wyznacznik lewego górnego bloku macierzy symetrycznej . Kryterium Sylvestera stwierdza, że forma jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy
Ujemna określoność jest równoważna warunkom dla wszystkich .
Dodatnia półokreśloność jest natomiast równoważna nieujemności wszystkich minorów głównych, czyli wyznaczników podmacierzy otrzymanych przez wybranie tego samego zbioru indeksów wierszy i kolumn. Sama nieujemność minorów nie wystarcza: macierz ma oba takie minory równe zeru, lecz określa formę .
Dodatnio określona macierz symetryczna ma również rozkład Choleskiego , gdzie jest odwracalna i dolnotrójkątna. Wówczas
Rozkład ten jest wykorzystywany w obliczeniach numerycznych.
Izotropowość i rozkłady ortogonalne Niezerowy wektor jest izotropowy, jeżeli . Forma mająca taki wektor jest izotropowa; w przeciwnym razie jest anizotropowa. Izotropowości nie należy utożsamiać z osobliwością: forma jest nieosobliwa, ale zeruje się na niezerowym wektorze .
Suma ortogonalna form i jest formą na daną wzorem
Podstawowym przykładem nieosobliwej izotropowej przestrzeni kwadratowej jest płaszczyzna hiperboliczna, z formą , równoważną formie . Rozkład Witta przedstawia każdą nieosobliwą przestrzeń kwadratową jako sumę ortogonalną płaszczyzn hiperbolicznych i przestrzeni anizotropowej. Liczba płaszczyzn hiperbolicznych, zwana indeksem Witta, oraz klasa izometrii części anizotropowej są niezmiennikami formy.
Zależność od ciała skalarów Liczby zespolone Nad każda forma kwadratowa rzędu jest równoważna
Wynika to z diagonalizacji i istnienia pierwiastka kwadratowego z każdej niezerowej liczby zespolonej. Przy ustalonym wymiarze formy zespolone są więc klasyfikowane przez rząd, bez analogicznego do rzeczywistego podziału na dodatnie i ujemne składniki.
Nie należy mylić zespolonej formy kwadratowej z wyrażeniem pochodzącym od formy hermitowskiej, gdzie . Zachodzi bowiem , ale . Funkcja przyjmuje wartości rzeczywiste i może być dodatnio określona. Na przykład jest kwadratem normy pochodzącej od standardowego hermitowskiego iloczynu skalarnego. Nie jest zespoloną formą kwadratową w opisanym tu znaczeniu, lecz jest formą kwadratową na odpowiedniej rzeczywistej przestrzeni liniowej.
Ciała skończone Nad ciałem skończonym o nieparzystej liczbie elementów dwie nieosobliwe formy są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wymiar i tę samą klasę wyznacznika modulo kwadraty. W każdym dodatnim wymiarze są dokładnie dwie klasy takich form. Jeśli nie jest kwadratem, można je reprezentować przez
oraz
Każda nieosobliwa forma w co najmniej dwóch zmiennych jest uniwersalna, czyli przyjmuje wszystkie wartości z ciała. Każda forma w co najmniej trzech zmiennych jest izotropowa.
Charakterystyka dwa Gdy , definicja wykorzystująca i dwuliniowość pozostaje poprawna, ale nie można dzielić przez dwa. Forma biegunowa
jest alternująca, to znaczy . Nie wyznacza ona jednoznacznie : formy oraz mają tę samą formę biegunową.
Postać wielomianowa nadal jest dostępna, lecz nie każda forma ma przedstawienie przez macierz symetryczną. Jeśli z macierzą górnotrójkątną , to macierzą jest . Forma diagonalna ma zerową formę biegunową, dlatego na przykład formy nie można sprowadzić do sumy samych kwadratów przez zmianę bazy. Klasyfikacja wymaga innych narzędzi niż w charakterystyce różnej od dwóch; jednym z nich jest niezmiennik Arfa.
Zastosowania Geometria analityczna Równania postaci
opisują krzywe i powierzchnie drugiego stopnia, w tym stożkowe i kwadryki. Diagonalizacja części kwadratowej usuwa wyrazy mieszane i umożliwia wyznaczenie kierunków osi głównych. Jeżeli rzeczywista macierz symetryczna jest dodatnio określona, zbiór
jest elipsoidą o półosiach długości , gdzie są wartościami własnymi . Równanie opisuje natomiast stożek i ilustruje geometryczne znaczenie wektorów izotropowych.
Analiza matematyczna i ekstrema Drugiej różniczce funkcji rzeczywistej klasy w ustalonym punkcie odpowiada forma kwadratowa:
gdzie oznacza hesjan. We wzorze Taylora
forma ta opisuje człon drugiego rzędu.
Jeżeli , dodatnia określoność hesjanu gwarantuje ścisłe minimum lokalne, ujemna – ścisłe maksimum, a nieokreśloność – punkt siodłowy. Sama półokreśloność nie rozstrzyga rodzaju punktu krytycznego: na przykład funkcje i mają w zerze tę samą zerową drugą pochodną, lecz różne rodzaje ekstremów.
Optymalizacja i metoda najmniejszych kwadratów W programowaniu kwadratowym minimalizuje się funkcję
przy ograniczeniach liniowych. Dla symetrycznej macierzy funkcja ta jest wypukła dokładnie wtedy, gdy jest dodatnio półokreślona.
W metodzie najmniejszych kwadratów funkcja celu ma postać
Jej część kwadratowa ma macierz , zawsze dodatnio półokreśloną, a dodatnio określoną wtedy i tylko wtedy, gdy kolumny są liniowo niezależne.
Statystyka i analiza ryzyka Jeżeli wektor losowy ma skończone drugie momenty i macierz kowariancji , to
Wariancja jest więc dodatnio półokreśloną formą kwadratową względem współczynników . W teorii portfela Markowitza ten sam wzór opisuje wariancję stopy zwrotu portfela jako funkcję jego wag.
Przy dodatnio określonej macierzy wyrażenie
jest kwadratem odległości Mahalanobisa. Jest formą kwadratową względem odchylenia , choć na ogół nie względem samego . Dla zachodzi
Formy kwadratowe pojawiają się również w rozkładach wariancji z próby i sum kwadratów reszt, co stanowi podstawę wielu testów statystycznych.
Iloczyny skalarne i normy Każda dodatnio określona rzeczywista forma kwadratowa wyznacza iloczyn skalarny i normę
Kwadratem normy jest zatem , nie sama norma.