1 0,8414712 0,958851 ...10 0,998334 ...100 0,999983 Dodatnia liczba całkowita staje się coraz większa, wartość staje się coraz bliższa Mówimy, że granica jest równa Granica funkcji – wartość, do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy’ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.
__TOC__
Historia Pojęcie to znane było intuicyjnie już w starożytności. Stosowano je wówczas do obliczania pól figur geometrycznych za pomocą tzw. metody wyczerpywania, która polegała na wpisywaniu w daną figurę geometryczną ciągu figur o znanych polach (pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie jako całka oznaczona, np. Lebesgue’a). Łaciński termin oznaczający granicę, „limes”, pojawił się w XVII wieku w pracach Newtona oraz Leibniza w związku z próbami uściślenia tego pojęcia oraz użycia go w ich wersjach rachunku różniczkowego i całkowego. Obaj tłumaczyli istnienie granic w różny sposób, Newton porównywał je do ciągłego ruchu, że w każdym konkretnym punkcie czasu istnieje jakaś prędkość. Leibniz natomiast tłumaczył granicę na przykładzie krzywych eliptycznych, gdzie parabola dąży do elipsy i może być nieskończenie blisko elipsy, ale nie być jeszcze elipsą.
Współczesna definicja granicy funkcji powstała w XIX wieku wraz z rozwojem analizy matematycznej. Pierwszą ścisłą definicję granicy funkcji, sformułowaną za pomocą pojęć arytmetycznych, podał Cauchy, a współczesne brzmienie nadał jej Weierstrass.
Granica w punkcie Definicje Funkcja określona na zbiorze ma w punkcie skupienia tego zbioru granicę równą jeżeli spełniony jest jeden z równoważnych warunków
1. definicja Heinego: dla każdego ciągu takiego, że dla dowolnego oraz dąży do ciąg wartości funkcji dąży do gdy ;
2. definicja Cauchy’ego:
co czytamy następująco: dla każdej liczby istnieje liczba taka, że dla każdego z nierówności wynika nierówność
3. definicja przez ciągłośćWitold Kleiner, Analiza matematyczna, t. 1, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986, , s. 103.: jest taką wartością, którą należy nadać funkcji w punkcie by była w tym punkcie ciągła: jest ciągła w (Ta definicja stosuje się do wszystkich funkcji, nie tylko liczbowo-liczbowych.) Aby móc stosować tę definicję gdy lub są równe lub wystarczy rozważać rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych z odpowiednimi otoczeniami i
Warunek w definicji Cauchy’ego oznacza, że nie wymagamy W definicji przez ciągłość nie musimy wykluczać tego wymagania dla funkcji bo sprowadza się ono do warunku który jest oczywiście spełniony, bo
Jeżeli istnieje granica funkcji w punkcie i jest równa to piszemy
i czytamy „ dąży do gdy dąży do ”
lub równoważnie
co czytamy: „limes przy dążącym do równa się ”. mały| Dlatego granica jako nie istnieje.
Przykłady Nie istnieje granica
(żadna liczba, nawet 0, nie spełnia definicji granicy). Natomiast istnieją obie granice jednostronne:
Nie istnieje granica
(żadna liczba, nawet 0, nie spełnia definicji granicy). Nie istnieją też granice jednostronne.
Istnieje granica i jest równa 0.
Istnieje granica i jest równa 0.
Granica jednostronna
Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami (w opozycji do ukazanej w tej sekcji) obustronną. Jeżeli granice lewo- i prawostronna istnieją i są sobie równe, to są one granicą obustronną; twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe: jeżeli istnieje granica obustronna to obie granice jednostronne istnieją i są jej równe (o ile punkt, w którym obliczamy granice jest odpowiednio lewostronnym lub prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji).
Liczba jest granicą lewostronną (odpowiednio: prawostronną) funkcji w lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) punkcie skupienia dziedziny, co zapisuje się przy (odpowiednio: przy )
lub (odpowiednio: ),
gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:
definicja Heinego dla każdego ciągu takiego, że dla dowolnego (odpowiednio: ) oraz ciąg wartości funkcji dąży do przy
definicja Cauchy’ego (odpowiednio: ).
Granica niewłaściwa
Funkcja ma w punkcie granicę niewłaściwą co zapisuje się przy
lub
gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:
definicja Heinego dla każdego ciągu takiego, że oraz ciąg wartości funkcji dąży do przy
definicja Cauchy’ego
Analogicznie definiuje się i oznacza się granicę niewłaściwą trzeba tylko wszędzie zamienić na a definicję Cauchy’ego zapisać tak:
Analogicznie określa się niewłaściwe granice lewo- i prawostronną: trzeba w sposób naturalny skombinować informację z tej i poprzedniej podsekcji.
Granica w nieskończoności mały|300px|Granica tej funkcji w nieskończoności istnieje mały|300px|Asymptota pozioma
Funkcja określona dla wszystkich (odpowiednio: ) ma granicę w plus (odpowiednio: minus) nieskończoności, co zapisuje się przy (odpowiednio: )
lub (odpowiednio: ),
gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:
definicja Heinego dla każdego ciągu takiego, że dla każdego oraz (odpowiednio: dla każdego oraz ),ciąg wartości funkcji dąży do przy
definicja Cauchy’ego (odpowiednio ).
Granica niewłaściwa w nieskończoności Funkcja określona na przedziale ma w nieskończoności granicę niewłaściwą co zapisuje się przy
lub
gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:
definicja Heinego dla każdego ciągu takiego, że dla każdego oraz ciąg wartości funkcji dąży do przy
definicja Cauchy’ego
Analogicznie definiuje się: granicę niewłaściwą funkcji w granicę niewłaściwą funkcji w granicę niewłaściwą funkcji w
Własności Jeśli funkcje i określone na zbiorze mają granice właściwe i to:
gdy oraz Uwaga: twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności. Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. to, że nie oznacza, że istnieją granice czy W podanym przykładzie granica nie istnieje, natomiast Twierdzenie o granicy funkcji złożonej. Jeśli funkcja ma w punkcie granicę funkcja ma w punkcie granicę przy czym i są odpowiednio punktami skupienia zbiorów oraz przy czym dla każdego z pewnego sąsiedztwa punktu to
Wymienione niżej własności są prawdziwe także w przypadku granic jednostronnych i w nieskończoności:
oraz w pewnym sąsiedztwie oraz oraz oraz w pewnym sąsiedztwie oraz w pewnym sąsiedztwie
Zobacz też granica ciągu granice dolna i górna reguła de l’Hospitala twierdzenie o trzech ciągach (funkcjach)
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne Nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-23]: Piotr Stachura, Wprowadzenie do granicy funkcji w nieskończoności, 8 maja 2019. Szymon Charzyński, Wprowadzenie do obliczania granicy funkcji w punkcie, 12 marca 2014. Szymon Charzyński, Granica złożenia funkcji gdy granica funkcji wewnętrznej nie istnieje, 18 maja 2021. Szymon Charzyński, Granica złożenia funkcji gdy granica funkcji zewnętrznej nie istnieje, 26 maja 2021. Szymon Charzyński, Granice funkcji przedziałami ciągłych, 20 marca 2022. Katarzyna Czyżewska i Vsevolod Vladimirov, Granica funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, Open AGH – Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie, epodreczniki.open.agh.edu.pl [dostęp 2025-10-12].
Kategoria:Funkcje matematyczne Funkcji