mały|Przebieg funkcji π(n) dla pierwszych sześćdziesięciu liczb naturalnych

Funkcja – funkcja używana w teorii liczb.

Dla danej liczby rzeczywistej wartość jest liczbą liczb pierwszych nie większych od .

Funkcja ta jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, choć zwykle bada się jej zachowanie tylko dla liczb naturalnych.

Właściwości Niektóre z nierówności dotyczących funkcji to: dla

Już pod koniec XVIII wieku Carl Friedrich Gauss oraz Adrien-Marie Legendre przypuszczali, iż jest przybliżeniem wartości funkcji dla dla

Ponadto:

gdzie jest logarytmem całkowym.

Funkcja f(x) Riemanna Bernhard Riemann w swojej pracy zdefiniował funkcję w postaci:

gdzie składnikami sumy jest funkcja liczby liczb pierwszych, natomiast Zauważmy, że tak zdefiniowana funkcja ma tę samą własność co funkcja Jej wartość rośnie o jeden, kiedy argument jest liczbą pierwszą.

Następnie w dalszej części pracy wyprowadza jawną postać funkcji składającej się z kilku członów.

Pierwszy z nich to logarytm całkowy, drugi to suma po nietrywialnych miejscach zerowych funkcji dzeta Riemanna dla których spełniona jest zależność:

przy czym sumuje się zera zarówno leżące nad osią liczb rzeczywistych, jak i pod nią. Warto zauważyć, że ze względu na symetryczne ułożenie zer „dodatnich” i „ujemnych” na osi w wyniku sumowania otrzymuje się liczbę rzeczywistą, ponieważ część urojona sumy znosi się wzajemnie.

Trzeci składnik to całka, która szybko dąży do zera wraz z rosnącymi wartościami Przykładowe wartości całki umieszczono w tabeli poniżej.

Ostatni składnik to stała równa

Definicja funkcji liczby liczb pierwszych π(x) za pomocą f(x) mały|Kolejne przybliżenia funkcji (zaznaczonej na czerwono) z uwzględnieniem coraz większej ilości nietrywialnych zer (niebieski kolor). Korzystając z transformacji Möbiusa, można przedstawić za pomocą funkcji Riemanna:

gdzie jest funkcją Möbiusa. Im więcej zer weźmie się pod uwagę w sumowaniu, tym dokładniejsze uzyska się przybliżenie funkcji liczącej liczby pierwsze.

Funkcja π Riemanna Czasami do obliczeń używa się przybliżenia w postaci wtedy taką funkcję nazywa się funkcją Riemanna:

Zobacz też funkcja φ

Przypisy

Kategoria:Analityczna teoria liczb Kategoria:Funkcje arytmetyczne Kategoria:Liczby pierwsze