mały|Przebieg funkcji π(n) dla pierwszych sześćdziesięciu liczb naturalnych
Funkcja – funkcja używana w teorii liczb.
Dla danej liczby rzeczywistej wartość jest liczbą liczb pierwszych nie większych od .
Funkcja ta jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, choć zwykle bada się jej zachowanie tylko dla liczb naturalnych.
Właściwości Niektóre z nierówności dotyczących funkcji to: dla
Już pod koniec XVIII wieku Carl Friedrich Gauss oraz Adrien-Marie Legendre przypuszczali, iż jest przybliżeniem wartości funkcji dla dla
Ponadto:
gdzie jest logarytmem całkowym.
Funkcja f(x) Riemanna Bernhard Riemann w swojej pracy zdefiniował funkcję w postaci:
gdzie składnikami sumy jest funkcja liczby liczb pierwszych, natomiast Zauważmy, że tak zdefiniowana funkcja ma tę samą własność co funkcja Jej wartość rośnie o jeden, kiedy argument jest liczbą pierwszą.
Następnie w dalszej części pracy wyprowadza jawną postać funkcji składającej się z kilku członów.
Pierwszy z nich to logarytm całkowy, drugi to suma po nietrywialnych miejscach zerowych funkcji dzeta Riemanna dla których spełniona jest zależność: