thumb|240px|Przykłady zbiorów otwarto-domkniętych: (1) każdy z trzech dużych grafów, (2) suma dowolnych dwóch grafów oraz (3) suma wszystkich trzech grafów. Zbiór otwarto-domknięty – podzbiór przestrzeni topologicznej, który jest jednocześnie zbiorem otwartym i domkniętym.
Przykłady W każdej przestrzeni topologicznej zbiór pusty oraz cała przestrzeń są zbiorami otwarto-domkniętymi. Niech przestrzeń będzie wyposażona w topologię podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, przestrzeń ma następujące podzbiory otwarto-domknięte: zbiór pusty, Rozważmy przestrzeń topologiczną zbioru liczb wymiernych z topologią podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, zbiór jest otwarto-domkniętym podzbiorem Ogólniej, jeśli jest przedziałem liczb rzeczywistych o różnych końcach niewymiernych, to jest otwarto-domkniętym podzbiorem (mimo iż zbiór ten nie jest ani otwarty ani domknięty na prostej ). Jeśli jest przedziałem o różnych końcach wymiernych, to jest otwarto-domkniętym podzbiorem przestrzeni liczb niewymiernych (ale ten zbiór nie jest ani otwarty ani domknięty w ).
Własności Przestrzeń topologiczna jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi zbiorami otwarto-domkniętymi w są zbiór pusty oraz cała przestrzeń Zbiór jest otwarto-domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jego brzeg jest zbiorem pustym. Przestrzeń topologiczna jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej podzbiory są otwarto-domknięte. Rodzina wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni tworzy ciało podzbiorów tej przestrzeni. W szczególności, struktura jest algebrą Boole’a. Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej.
Zobacz też przestrzeń całkowicie niespójna przestrzeń ekstremalnie niespójna przestrzeń zero-wymiarowa
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2022-10-09]. Open-closed set , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-16].
Kategoria:Topologiczne własności zbiorów