mały|300px|Przykładowa hiperbola (kolor czerwony); zaznaczono też: • ogniska (), • łączącą je oś symetrii (kolor niebieski), • leżące na niej wierzchołki (), • asymptoty (kolor zielony), • środek symetrii ()
Hiperbola ( hyperbolḗ „przerzucenie; przesada”) – krzywa płaska definiowana na co najmniej dwa równoważne sposoby: definicja planimetryczna jest oparta na dwóch różnych, ustalonych punktach nazywanych ogniskami. Hiperbola to zbiór takich punktów, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości od ognisk jest stała; hiperbola to taka krzywa stożkowa, dla której kąt między płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta między osią stożka a jego tworzącą.
Hiperbola nie jest spójna – ma dwie rozłączne części zwane gałęziami.
Równanie hiperboli Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne i to można ją opisać równaniem:
gdzie jest połową odległości między wierzchołkami hiperboli, natomiast jest połową odległości między wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek:
Jeżeli to hiperbola nazywana jest równoosiową.
Mimośrodem hiperboli nazywa się stosunek odległości między ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi:
Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.
Obierając na hiperboli dowolny punkt przez oznacza się odległość między tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez odległość między punktem a prawym ogniskiem. Wtedy mają miejsce następujące związki: dla prawej gałęzi: dla lewej gałęzi:
Niech będzie odległością ustalonego punktu od lewej kierownicy, a odpowiednio – od prawej. Wówczas:
Powiązane linie proste Hiperbola zawsze ma dwie asymptoty; przy powyższym równaniu hiperboli równania asymptot to:
Kierownicami hiperboli nazywa się proste wyrażone równaniami
Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywany jest średnicą hiperboli.
Styczna w punkcie hiperboli spełnia równanie
Hiperbole sprzężone Hiperbolę o równaniu
nazywa się hiperbolą sprzężoną do hiperboli wyjściowej, o równaniu podanym wyżej. Hiperbole wzajemnie sprzężone mają wspólne asymptoty o równaniach podanych wyżej.
mały|center|400px|Przykład hiperbol sprzężonych w kartezjańskim układzie współrzędnych. W pokazanych wzorach występują sinus hiperboliczny i kosinus hiperboliczny
Przypisy
Linki zewnętrzne Polskojęzyczne Kazimierz Chomicz, Dowód i zastosowania własności hiperboli prostokątnych, deltami.edu.pl [dostęp 2024-11-07] – praca nagrodzona brązowym medalem w 46. Konkursie Prac Uczniowskich z Matematyki, organizowanym przez „miesięcznik „Delta” i Polskie Towarzystwo Matematyczne.
Algebra – krzywe stożkowe – hiperbola, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-27].
Anglojęzyczne
Hyperbola , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05]. Hyperbola , MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].
Kategoria:Krzywe stożkowe Kategoria:Funkcje wymierne