mały|250px|Krzywa przestrzenna, wektory T t, N n, B b i płaszczyzna ściśle styczna rozpięta na wektorach T, N i o wektorze normalnym B.
Wzory Fréneta, wzory Fréneta-Serreta – wzory wyrażające zależności pomiędzy wektorami tworzącymi krawędzie tzw. trójścianu Freneta, zaczepionymi w pewnym punkcie badanej krzywej i określającymi jej geometryczne własności przestrzenne w tym punkcie.
Zapis wektorowy W zapisie wektorowym wzory Freneta mają następującą postać
gdzieВ.И. Смирнов, Курс высшей математики, t. 2, Гос. Издат. технико-теоретичесҝой литературы, Мосҝва-Ленинград 1951.: – parametr naturalny krzywej (długość łuku), – wektor wodzący punktu na krzywej, – wektor styczny, – wektor normalnej głównej, – wektor binormalny, – wektor krzywizny, – promień krzywizny, – krzywizna krzywej, – promień torsji krzywej (promień drugiej krzywizny), – torsja krzywej (druga krzywizna), – wektory normalne płaszczyzn: ściśle stycznej i prostującej.
Z punktem na krzywej przestrzennej można związać dwa lokalne układy ortogonalnych osi liczbowych. Pierwszy z nich jest nieruchomy, prawoskrętny i określony przez wersory Drugi prawoskrętny układ wersorów jest związany z krzywą i określa trzy istotne kierunki: styczny, normalny i binormalny. Dwa pierwsze wyznaczone są przez wersory
gdzie:
a trzeci jest definiowany wzorem
Jeżeli krzywa leży na płaszczyźnie o normalnej to wektor binormalnej do tej krzywej w każdym jej punkcie jest stały i Płaszczyzna jest w tym przypadku płaszczyzną ściśle styczną dla dowolnego punktu krzywej
W analizie przestrzennych właściwości krzywych istotną rolę odgrywają pochodne wersorów krawędzi trójścianu Freneta.
Na podstawie wzoru mamy
i różniczkując wzór , otrzymujemy
ponieważ i są kolinearne. Ponadto z wynika, że a ponieważ również
więc
gdzie jest torsją krzywej w punkcie określoną wzorem .
Teraz można już obliczyć pochodną normalnej głównej, korzystając ze wzoru
Poniższa tabelka zawiera kosinusy kierunkowe wersorów Freneta osi stycznej, normalnej i binormalnej z kierunkami osi x y z
Wzory dla pochodnych wersorów Freneta zestawiono poniżej.
Torsję krzywej można obliczyć, korzystając ze wzoru po uwzględnieniu i
dzięki temu, że
Torsja określona w dowolnym punkcie krzywej wzorem stanowi pewną miarę zwichrowania tej krzywej w bliskim otoczeniu punktu Polega ono na wychylaniu się krzywej z jej płaszczyzny ściśle do niej stycznej w tym punkcie. Gdy torsja ma wartość zerową krzywa w otoczeniu punktu jest płaska, bez zwichrowania.
Zapis parametryczny Dana jest krzywa przestrzenna opisana parametrycznie równaniamiF. Leja, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1954.
Na tej krzywej wyróżnimy dwa punkty odpowiadające dwom wartościom parametru Przez te punkty przechodzi sieczna opisana równaniem
Dzieląc mianowniki przez i przechodząc do granicy otrzymujemy równanie linii stycznej do krzywej w punkcie
gdzie przez oznaczono pochodne względem parametru liczone w punkcie
Równanie o postaci jest konsekwencją kolinearności wektorów i
Równanie płaszczyzny normalnej (prostopadłej) do krzywej w punkcie można zapisać w postaci iloczynu skalarnego wektora stycznego do niej z dowolnym wektorem leżącym w płaszczyźnie
Równanie płaszczyzny ściśle stycznej do krzywej w punkcie zapiszemy w postaci
Problem polega teraz na tym, aby określić współrzędne takiego wektora który byłby prostopadły do płaszczyzny ściśle stycznej
Rozważmy równanie takiej płaszczyzny na której leży styczna i która przechodzi przez punkt – a zatem każdy jej wektor jest prostopadły do
oraz każdy wektor leżący na płaszczyźnie jest prostopadły do
Wektor jest również prostopadły do wektora stycznego który leży na
Wykorzystując wzór Taylora zamiast , możemy napisać
gdzie
Po uwzględnieniu i otrzymujemy
Można teraz z i wyznaczyć niewiadome i na podstawie otrzymuje się, po przejściu do granicy
Tak więc wektor prostopadły do płaszczyzny ściśle stycznej ma współrzędne
Przez punkt krzywej przechodzą trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny tworzące trójścian Freneta: ściśle styczna (o wektorze normalnym ) – równanie i , normalna (o wektorze normalnym ) – równanie , prostująca (o wektorze normalnym ) – prostopadła do dwu poprzednich. Jej równanie ma postać
Wektor jest prostopadły do obydwu wektorów i i dlatego muszą być spełnione dwa równania
Rozwiązanie równań i ma postać wzorów
Krawędziami trójścianu Freneta są proste: styczna – o wersorze i równaniu , normalna główna – o wersorze i prostopadła do płaszczyzny prostującej, określona równaniem
binormalna – o wersorze i prostopadła do płaszczyzny ściśle stycznej, określona równaniem
Zachodzą przy tym następujące tożsamości
Krzywizna i torsja krzywej Płaszczyzna normalna do krzywej w jej punkcie opisana jest równaniem
gdzie jest wektorem stycznym do krzywej w punkcie
Przecina ona normalną główną w punkcie o współrzędnych
Po podstawieniu do i uwzględnieniu otrzymujemy wartość parametru
określającą położenie punktu na kierunku normalnej głównej.
Po podzieleniu licznika i mianownika przez i po przejściu do granicy otrzymujemy
Gdy punkt dąży do punktu punkt dąży do punktu o współrzędnych
Po wykorzystaniu tożsamości otrzymujemy
Punkt o współrzędnych nazywany jest środkiem krzywizny krzywej w jej punkcie Miejscem geometrycznym środków krzywizny krzywej o współrzędnych jest krzywa zwana ewolutą krzywej
Odległość punktu od punktu jest tak zwanym promieniem krzywizny krzywej w jej punkcie Odległość tę oblicza się na podstawie wzorów po uwzględnieniu tożsamości
Krzywiznę krzywej określa wzór
Krzywizna nazywana jest pierwszą krzywizną krzywej dla odróżnienia jej od drugiej krzywizny nazywanej torsją krzywej. Torsja jest miarą skrętu krzywej związanego z obrotem trójścianu Freneta dokoła osi stycznej. Obrót ten można obliczyć, wprowadzając do rozważań jednostkowy wektor
dzięki któremu torsję można zdefiniować wzorem
przy czym
dzięki temu, że po uwzględnieniu tożsamości Lagrange’a
Na podstawie i dzięki temu, że otrzymujemy
Przykłady Elipsa
- ponieważ
Okrąg Na płaszczyźnie o normalnej:
- ponieważ
Spirala na walcu kołowym Linia śrubowa – krzywa „nawinięta” na walec o promieniu Spirala jest prawoskrętna wokoło osi
gdzie jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta względem płaszczyzny kołowego przekroju walca,
stąd
Parabola płaska
Parabola przestrzenna
Zerowanie się torsji wynika również bezpośrednio z faktu, że Rozważana krzywa w całości leży na swojej płaszczyźnie ściśle stycznej o normalnej
Spirala Archimedesa
Spirala stożkowa Krzywa „nawinięta” na stożek kołowy.
Spirala na walcu eliptycznym Krzywa „nawinięta” na taki walec o półosiach
Sinusoida „nawinięta” na walec kołowy
Cykloida
Wzory Freneta w Wzory Freneta zostały uogólnione dla więcej wymiarowych przestrzeni euklidesowych przez C. Jordana w 1874 roku.
Przypuśćmy, że opisuje gładką krzywą w sparametryzowaną przez długość łuku oraz że pierwsze pochodnych jest liniowo niezależnych. Geometrycznie oznacza to, że krzywa nie zawiera się w żadnej hiperpłaszczyźnie o wymiarze (ani w żadnej płaszczyźnie o niższych wymiarach). Wektory układu Freneta są bazą ortogonalną skonstruowaną przy pomocy ortogonalizacji Grama-Schmidta wykonanej na wektorach
W szczególności, jednostkowy wektor styczny jest pierwszym wektorem układu Freneta
Wektor normalny czasami nazywany wektorem krzywizny, wskazuje odchylenie krzywej od stycznej linii prostej. Jest zdefiniowany jako
W standardowej formie, jednostkowy wektor normalny jest drugim wektorem układu Freneta i jest zdefiniowany jako
Wektor styczny i normalny w punkcie definiują płaszczyznę ściśle styczną w punkcie
Pozostałe wektory układu Freneta (wektor binormalny, trinormalny itd.) są zdefiniowane w sposób analogiczny jako:
Funkcje o wartościach rzeczywistych zdefiniowane jako:
są nazywane krzywiznami uogólnionymi, przy czym symbol oznacza iloczyn skalarny wektorów i
W przypadku n-wymiarowym wzory Fréneta-Serreta mają postać: dla
W języku macierzy wyglądają tak:
Zobacz też krzywizna krzywej ewoluta ewolwenta torsja krzywej Jean Frédéric Frenet
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2026-01-15].
Kategoria:Geometria różniczkowa