Własność Baire’a – matematyczna własność zbioru; wskazująca na jego, pewnego rodzaju, regularność. To znaczy, zbiór posiadający własność Baire’a, można uważać za zbiór prawie otwarty.
Nazwa została nadana dla uhonorowania francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a (1874–1932).
Definicja
Powiemy, że zbiór przestrzeni topologicznej ma własność Baire’a, jeżeli można go przedstawić w postaci różnicy symetrycznej zbioru otwartego i zbioru mizernego . To znaczy:
zbiór ma własność Baire'a .
Uwaga. Równoważnie jest powiedzieć: różnica symetryczna zbioru i zbioru otwartego jest mizerna.
Przykłady Każdy zbiór borelowski ma własność Baire’a. Każdy zbiór mizerny ma własność Baire’a. W przestrzeniach polskich każdy zbiór analityczny ma własność Baire’a. Zarówno zbiory Vitalego, jak i zbiory Bernsteina nie mają własności Baire’a.
Własności W dowolnej przestrzeni topologicznej, zbiory o własności Baire’a, tworzą σ-ciało podzbiorów tej przestrzeni. Jest to zarazem najmniejsze σ-ciało zawierające zarówno zbiory otwarte, jak i zbiory mizerne. Jeśli podzbiór przestrzeni polskiej ma własność Baire’a, to odpowiednia gra Banacha-Mazura jest zdeterminowana. Polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus wykazali, że aksjomat determinacji pociąga własność Baire’a wszystkich podzbiorów prostejJan Mycielski, Hugo Steinhaus: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice, „Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys.” 10 (1962), s. 1–3..
Mierzalność Własność Baire’a jest najczęściej rozważana dla podzbiorów przestrzeni polskich czy wręcz podzbiorów prostej rzeczywistej. W tym kontekście jest ona często porównywana do mierzalności w sense Lebesgue’a.
Matematycy pracujący w teorii mnogości, topologii, czy też teorii miary są często zainteresowani odkrywaniem podobieństw, jak i przeciwieństw, między tymi właśnie własnościamiJohn C. Oxtoby, Measure and category. A survey of the analogies between topological and measure spaces, Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 2. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980, .Tomek Bartoszyński, Haim Judah, Set theory. On the structure of the real line, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995, .. Twierdzenie Kuratowskiego-Ulama mówi, żeKazimierz Kuratowski, Stanisław Ulam: Quelques propriétés topologiques du produit combinatoire, „Fundamenta Mathematicae” 19 (1932), s. 247–251. jeśli są przestrzeniami polskimi i jest zbiorem o własności Baire’a, to jest zbiorem mizernym, wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór:
jest mizerny w (w istocie wystarczy założenie, że są Hausdorffa i ma przeliczalną π-bazę).
Powyższe twierdzenie jest uważane za topologiczny odpowiednik twierdzenia Fubiniego dla miary. Niech będzie przestrzenią polską i Wówczas można znaleźć zbiór mający własność Baire’a i taki, że jeśli ma własność Baire’a, to jest mizerny.
Ten wynik jest często podawany jako topologiczny odpowiednik miary zewnętrznej. W 1970, Robert M. Solovay udowodnił, że zakładając istnienie liczby nieosiągalnej, istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’a i mają własność Baire’aRobert M. Solovay, A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable, „Ann. of Math.” 92 (1970), s. 1–56.. W 1984 Saharon Szelach wykazał, żeSaharon Shelah, Can you take Solovay’s inaccessible away?, „Israel J. Math.” 48 (1984), s. 1–47. model, w który wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire’a, może być otrzymany bez użycia liczb nieosiągalnych, ale mierzalność zbiorów rzutowych implikuje, że jest liczbą nieosiągalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Kurta Gödla).
Ten wynik Shelaha był jednym z pierwszych istotnych przykładów asymetrii pomiędzy własnością Baire’a a mierzalnością w sensie Lebesgue’a. Randall Dougherty, Matthew ForemanRandall Dougherty, Matthew Foreman: Banach-Tarski decompositions using sets with the property of Baire, „J. Amer. Math. Soc.” 7 (1994), no. 1, s. 75–124. udowodnili, że jest możliwy paradoksalny rozkład kuli na kawałki które mają własność Baire’a. (Części rozkładu paradoksalnego muszą być niemierzalne).
Zobacz też twierdzenie Baire’a
Przypisy
Linki zewnętrzne Baire property , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Kategoria:Topologiczne własności zbiorów