Rotacja lub wirowość – operator różniczkowy w teorii pola, który działając na pole wektorowe tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez lub (z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako .
Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe ma potencjał (i odwrotnie: pole dla którego nie można określić potencjału jest polem wirowym).
Definicja formalna Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla i wektora
W sensie geometrii różniczkowej rotację pola wektorowego na trójwymiarowej rozmaitości zorientowanej z metryką definiuje się w sposób:
gdzie:
– tensor metryczny, – zwężenie formy objętości z rot(F).
Rotacja w układzie współrzędnych kartezjańskich W kartezjańskim układzie współrzędnych mamy więc
Notacja macierzowa W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:
gdzie są wersorami osi układu współrzędnych.
Całość rozpisujemy w następujący sposób:
Rotacja w innych układach współrzędnych W układzie współrzędnych walcowych:
W układzie współrzędnych sferycznych:
Notacja Einsteina W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Leviego-Civity, jest zapisywana jako:
Własności rotacji Oznaczając przez pola wektorowe, przez pole skalarne dla zachodzą następujące własności: rotacja jest operatorem liniowym dla liczb rzeczywistych
rotacja gradientu jest zerowa
rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:
rotacja z iloczynu wektorowego dwóch pól wektorowych:
rotacja z rotacji pola wektorowego
każde pole o zerowej rotacji można przedstawić jako gradient pola skalarnego (istnieje takie pole skalarne V, że ); zob. twierdzenie Helmholtza.
Przypisy
Linki zewnętrzne Curl , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
Kategoria:Geometria analityczna Kategoria:Geometria różniczkowa