mały| (1878–1929)
Lemat Fatou – lemat noszący nazwisko Pierre’a Fatou, który daje ograniczenie górne na wartość całki Lebesgue’a funkcji określonej jako granica dolna pewnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych.
Lemat Fatou jest jednym z trzech, obok twierdzeń o zbieżności monotonicznej i ograniczonej (oba autorstwa Henriego Lebesgue’a), podstawowych twierdzeń granicznych analizy i teorii miary. Wykorzystywany jest w niektórych dowodach twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej oraz zupełności przestrzeni oraz w teorii prawdopodobieństwa przy wyznaczaniu wartości oczekiwanych pewnych zmiennych losowych.
Lemat
Niech będą funkcjami -mierzalnymi określonymi na wspólnej przestrzeni z miarą dla Wówczas
Uwaga Jeśli funkcje są sumowalne (całkowalne) i prawa strona nierówności jest skończona, to sumowalna (całkowalna) jest również funkcja podcałkowa po lewej stronie nierówności.
Dowód Niech oznacza nieujemną funkcję prostą mniejszą lub równą Niech ponadto zbiory -mierzalne będą rozłączne oraz dla
Niech będzie ustalone. Wówczas
gdzie:
Ponieważ
zatem
stąd zaś
Nierówność ta obowiązuje dla każdego a każda funkcja prosta jest mniejsza lub równa Dlatego
gdzie oznacza całkę dolnąCałka dolna funkcji definiowana jest jako
Podobnie definiuje się całkę górną
Gdy całki górna i dolna funkcji -mierzalnej są równe, to funkcję nazywa się -całkowalną i definiuje jej całkę jako
(w tym ujęciu funkcja może mieć zatem całkę równą lub nieujemna funkcja -mierzalna jest zawsze -całkowalna)..
Zobacz też twierdzenie Lebesgue’a-Fatou twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej twierdzenie Fubiniego
Uwagi
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-07-15]. Fatou theorem (on Lebesgue integrals) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].
Kategoria:Nierówności całkowe Fatou Fatou