Aksjomat determinacji, AD (od ang. axiom of determinacy) – aksjomat teorii mnogości postulujący zdeterminowanie pewnych gier nieskończonych. Implikuje on, że aksjomat wyboru jest fałszywy, a zatem unieważnia paradoksy wynikające z tego ostatniego. Niesprzeczność AD jest równoważna z niesprzecznością istnienia pewnych dużych liczb kardynalnych.
W literaturze matematycznej istnieje cała rodzina aksjomatów determinacji, do najpopularniejszych należy jednak AD niezależny od aksjomatów Zermela-Fraenkla.
W dalszej części tego artykułu będą używane oznaczenia i definicje wprowadzone w artykule o grach nieskończonych.
Rys historyczny Pierwsza gra nieskończona została opisana w 1930 przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w problemie 43 w Księdze Szkockiej. Dzisiaj gra ta jest znana pod nazwą gry Banacha-Mazura. W 1962 polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo SteinhausJan Mycielski, Hugo Steinhaus: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice, „Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys.” 10 (1962), s. 1–3. zaproponowali badania aksjomatów determinacji. Aksjomaty te były intensywnie studiowane na początku lat 60. XX wieku przez Jana Mycielskiego i Stanisława ŚwierczkowskiegoJan Mycielski, Stanisław Świerczkowski: On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness, „Fundamenta Mathematicae”. 54 (1964), s. 67–71.Jan Mycielski: On the axiom of determinateness, „Fundamenta Mathematicae” 53 (1963/1964), s. 205–224.Jan Mycielski: On the axiom of determinateness. II, „Fundamenta Mathematicae” 59 (1966), s. 203–212.. W 1969 Donald A. Martin udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna oraz jest zbiorem analitycznym, to gra jest zdeterminowanaDonald A. Martin: Measurable cardinals and analytic games, „Fundamenta Mathematicae” 66 (1969/1970), s. 287–291.. W 1975 Martin wykazał, że jeśli jest zbiorem borelowskim, to gra jest zdeterminowanaDonald A. Martin: Borel determinacy. „Ann. of Math.” (2) 102 (1975), nr 2, s. 363–371.Donald A. Martin: A purely inductive proof of Borel determinacy, „Recursion theory (Ithaca, N.Y., 1982)”, Proc. Sympos. Pure Math., 42 (1985). s. 303–308.. W końcu lat 80. XX wieku Hugh Woodin, Donald Martin i John Steel wykazali, że przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych, wszystkie gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowaneW. Hugh Woodin: Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. „Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.” 85 (1988), s. 6587–6591.Donald A. Martin, John R. Steel: A proof of projective determinacy, „J. Amer. Math. Soc.” 2 (1989), s. 1, 71–125.. Ponadto udowodnili oni, że jeśli istnieją odpowiednio duże liczby kardynalne, to ZF+AD jest niesprzeczne. W latach 90. XX wieku Woodin rozwinął teorię wokół pojęcia forsingu które okazało się kluczowym elementem badań struktury przy założeniu AD w (gdzie jest ideałem niestacjonarnych podzbiorów a jest rodziną zbiorów dziedzicznie mocy )W. Hugh Woodin: The axiom of determinacy, forcing axioms, and the nonstationary ideal. „de Gruyter Series in Logic and its Applications”, 1. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1999. ..
Aksjomat i jego wersje Definicje wstępne Przypomnijmy następujące definicje: Niech będzie zbiorem o przynajmniej dwóch elementach oraz niech Gra pomiędzy graczami I i II jest zdefiniowana jako proces, w wyniku którego gracze konstruują ciąg nieskończony o wyrazach w w taki sposób, że po tym jak już zostało wybrane, to jeśli jest parzyste, to gracz I wybiera jeśli jest nieparzyste, to gracz II wybiera Po wykonaniu wszystkich ω kroków, kiedy gracze zbudowali ciąg powiemy, że gracz I wygrał partię η jeśli Strategia dla gracza I to funkcja Powiemy, że ciąg jest zgodny ze strategią σ jeśli Strategia dla gracza I jest strategią zwycięską gracza I w , jeśli każdy ciąg zgodny z należy do zbioru Strategia dla gracza II to funkcja Powiemy, że ciąg jest zgodny ze strategią τ jeśli Strategia dla gracza II jest strategią zwycięską gracza II w , jeśli żaden ciąg zgodny z nie należy do zbioru Powiemy, że gra jest zdeterminowana, jeśli jeden z graczy ma strategię zwycięską.
Aksjomaty determinacji Aksjomat determinacji AD to zdanie dla każdego zbioru gra jest zdeterminowana. Aksjomat determinacji rzeczywistej to zdanie dla każdego zbioru gra jest zdeterminowana (gdzie oznacza zbiór liczb rzeczywistych). Aksjomat determinacji rzutowej PD to zdanie dla każdego zbioru rzutowego gra jest zdeterminowana.
Konsekwencje implikuje AD. Następujące stwierdzenia są konsekwencjami AD: Każdy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire’a. Każdy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue’a. Każdy nieprzeliczalny podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały. Dla każdego jest liczbą nieosiągalną w jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem). jest liczbą mierzalną. Następujące stwierdzenia są konsekwencjami PD: Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire’a. Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue’a. Każdy nieprzeliczalny rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały. Jeśli istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina z liczbą mierzalną powyżej ich, to
PD jest prawdziwe. Teoria „ZF+AD” jest niesprzeczna wtedy i tylko wtedy, gdy niesprzeczna jest teoria „ZFC+ istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina”.
Zobacz też opisowa teoria mnogości
Przypisy
Determinancji Kategoria:Polskie odkrycia matematyczne