Ponadto udowodnili oni, że jeśli istnieją odpowiednio duże liczby kardynalne, to ZF+AD jest niesprzeczne. W latach 90. XX wieku Woodin rozwinął teorię wokół pojęcia forsingu które okazało się kluczowym elementem badań struktury przy założeniu AD w (gdzie jest ideałem niestacjonarnych podzbiorów a jest rodziną zbiorów dziedzicznie mocy )W. Hugh Woodin: The axiom of determinacy, forcing axioms, and the nonstationary ideal. „de Gruyter Series in Logic and its Applications”, 1. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1999. ..
Aksjomat i jego wersje Definicje wstępne Przypomnijmy następujące definicje: Niech będzie zbiorem o przynajmniej dwóch elementach oraz niech Gra pomiędzy graczami I i II jest zdefiniowana jako proces, w wyniku którego gracze konstruują ciąg nieskończony o wyrazach w w taki sposób, że po tym jak już zostało wybrane, to jeśli jest parzyste, to gracz I wybiera jeśli jest nieparzyste, to gracz II wybiera Po wykonaniu wszystkich ω kroków, kiedy gracze zbudowali ciąg powiemy, że gracz I wygrał partię η jeśli Strategia dla gracza I to funkcja Powiemy, że ciąg jest zgodny ze strategią σ jeśli Strategia dla gracza I jest strategią zwycięską gracza I w , jeśli każdy ciąg zgodny z należy do zbioru Strategia dla gracza II to funkcja Powiemy, że ciąg jest zgodny ze strategią τ jeśli Strategia dla gracza II jest