mały|360px|Część cykloidy – cała krzywa zawiera nieskończenie wiele kopii takiego łuku, co pokazuje animacja niżej mały|360px|Konstrukcja cykloidy jako rodzaju trajektorii (toru ruchu)
Cykloida – rodzaj krzywej płaskiej, który można definiować ruchem okręgu. Cykloida to tor (trajektoria) punktu na okręgu toczącym się – bez poślizgu – po prostej. Równoważna definicja opiera się na geometrii analitycznej – opisie tego ruchu w układzie współrzędnych. Odpowiednie wzory – dla układu kartezjańskiego – podano niżej.
Rozważania cykloidy zaczęto najpóźniej w XVII wieku – pisał o niej Galileusz. Dzięki pracom różnych matematyków i wynalazców poznano między innymi: zastosowania tej krzywej, np. do konstrukcji wahadeł; specjalne narzędzie do rysunku takich linii – cykloidograf; uogólnienia jak te opisane niżej oraz epicykloidy, hipocykloidy i inne krzywe cykliczne.
Równania Cykloida opisana jest równaniami parametrycznymi postaci:
gdzie:
Rozwiązując równania ogólne dla otrzymuje się:
gdzie:
Własności Cykloida jest też związana z zagadnieniem: krzywej najkrótszego spadku (brachistochrony) będącej fragmentem łuku cykloidy, krzywej będącej odwróconą cykloidą (tautochroną), po której masa punktowa stacza się do najniższego punktu krzywej w takim samym czasie, niezależnie od punktu startowego na tej krzywej.
Uogólnienia mały|300px|Konstrukcja cykloidy skróconej: mały|300px|Konstrukcja cykloidy wydłużonej:
Uogólnieniem zwykłej cykloidy są cykloidy skrócone i wydłużone, zdefiniowane niżej. Bywają nazywane trochoidami, ale to słowo ma też inne znaczenia – m.in. dużo szersze, obejmujące także cykloidę i inne krzywe cykliczne.
Równania ogólne postaci:
gdzie:
Zależność odległości punktu zakreślającego krzywą od środka toczącego się koła i promienia tego koła jest następująca: dla cykloidę skróconą, zakreślaną przez ustalony punkt leżący wewnątrz toczącego się koła (linia czerwona na poniższym rysunku), dla cykloidę wydłużoną, zakreślaną przez ustalony punkt leżący na zewnątrz koła (linia niebieska). dla zwykłą cykloidę, zakreślaną przez punkt na brzegu koła (linia zielona).
mały|center|800px|Cykloidy (wydłużona, zwykła i skrócona) dla punktu położonego w różnych miejscach koła o promieniu
Miary Długość łuku Długość łuku jednego przęsła cykloidy jest równa czterem średnicom toczącego się koła :
Pole powierzchni
Pole pod jednym łukiem jest trzykrotnie większe od pola koła toczącego się bez poślizgu, tj.
Zobacz też
długość krzywej pole powierzchni pod krzywą traktrysa
Przypisy
Linki zewnętrzne Agnieszka Prusińska, Cykloida i okolice, rocznik „Matematyka Poglądowa”, Ośrodek Kultury Matematycznej – Uniwersytet w Siedlcach (OKM UwS), 2019 [dostęp 2026-02-06]. Cycloid , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-19]. Cycloid , MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].
Kategoria:Krzywe cykliczne