mały|300px|Przykładowy wykres funkcji zawierającej punkt przegięcia (w); styczna w tym punkcie została zaznaczona na czerwono.
Punkt przegięcia – wieloznaczne pojęcie matematyczne używane w analizie i geometrii, konkretniej analizie rzeczywistej i planimetrii. W obu tych działach punkty przegięcia są definiowane różnie i nierównoważnie: dla funkcji rzeczywistej o zmiennej rzeczywistej jest to pewien punkt w jej dziedzinie lub na wykresie. Zachodzi w nim zmiana wypukłości, tj. po jednej stronie przegięcia funkcja jest wypukła, a po drugiej – wklęsła.. Ta definicja jest niejednoznaczna przez różne użycie nazw „wypukłość” i „wklęsłość”; oprócz tego bywa zawężana dodatkowymi warunkami na zachowanie funkcji w tym miejscu. Przy niektórych z tych zawężeń – oraz innych definicjach, nieodwołujących się do wypukłości – punkt przegięcia wykresu staje się szczególnym przypadkiem sensu geometrycznego: dla ogólnych krzywych płaskich punkt przegięcia to taki, w którym istnieje styczna i „przechodzi” ona z jednej strony krzywej na drugą.. W sensie ścisłym i węższym: w pewnym sąsiedztwie przegięcia krzywa zawiera się we wnętrzu kątów wierzchołkowych utworzonych przez styczną i normalną Point of inflection , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, 6 czerwca 2020 [dostęp 2022-01-16].. Można to też formalizować przez zmianę znaku krzywizny, choć wymaga to innych założeń o własnościach krzywej.
Oprócz tego znaczenia z pierwszej grupy mają swoje warunki wystarczające jak: ekstremum pierwszej pochodnej we wnętrzu dziedziny, zmiana znaku drugiej pochodnej Szymon Charzyński, Punkty przegięcia, kanał Khan Academy Po Polsku na YouTube, 5 maja 2014 [dostęp 2022-01-23]., zmiana znaku pewnych wyrażeń z pierwszą lub drugą pochodną w przegięciu, zerowanie się pochodnych kolejnych rzędów między pierwszym a pewnym rzędem nieparzystym, dla którego wartość pochodnej jest niezerowa:
Kryteria te istnieją dzięki twierdzeniom o różniczkowalnych funkcjach wypukłych i wklęsłych. Przy pewnym zawężeniu pojęć te warunki wystarczające stają się równoważnymi; bywają wręcz używane jako definicje.
Pojęcie to wprowadził do matematyki prawdopodobnie Gilles de Roberval; posłużył się nim w 1636 roku, w liście do Pierre’a Fermata. O przegięciach pod innymi nazwami wspominali potem między innymi Gottfried Wilhelm Leibniz i Isaac Newton Jeff Miller i Siegmund Probst, Inflection point, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I) , MacTutor History of Mathematics archive, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-01-16]..
Przegięcia funkcji rzeczywistych mały|300px|Wykres funkcji trzeciego stopnia (sześcianu), czasem nazywany parabolą sześcienną. Punktem przegięcia jest tu początek układu współrzędnych (0,0), z obu perspektywW analizie czasem przyjmuje się, że przegięciem jest tu współrzędna odcięta tego punktu, czyli argument : 1) dla argumentów ujemnych funkcja jest ściśle wklęsła, a dla dodatnich – ściśle wypukła; 2) styczną jest tu oś pozioma (Ox), normalną – oś pionowa (Oy), a cały wykres znajduje się w przeciwległych ćwiartkach układu (pierwszej i trzeciej). mały|300px|Tangensoida – wykres funkcji tangens Jej miejsca zerowe to wielokrotności 180° czyli pi radianów: Punkty te są zarazem punktami przegięcia; prostych stycznych ani normalnych tu nie przedstawiono. mały|300px|Wykres pierwiastka sześciennego ma punkt przegięcia w , bo istnieje w otoczeniu punktu i zmienia znak z na przy przechodzeniu przez ten punkt. Jednak w nie istnieje ani pierwsza ani druga pochodna, gdyż styczna do wykresu w tym punkcie jest prostą pionową i dla ); z tej racji nie istnieje także druga pochodna w . mały|300px|Wykres funkcji wymiernej – przykład hiperboli. Początek układu współrzędnych (0,0) rozdziela tu przedział ścisłej wklęsłości od przedziału ścisłej wypukłości Mimo to punkt zwykle nie jest uznawany za przegięcie – jako liczba spoza dziedziny tej funkcji.
Szeroka definicja przez wypukłość Niech będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych: gdzie Wtedy mówi się, że ma punkt przegięcia w wtedy i tylko wtedy, gdy w pewnym otoczeniu punktu jest po jednej z jego stron ściśle wypukła, a po drugiej – ściśle wklęsła. Formalnie oznacza to, że istnieje liczba dla której funkcja a) jest ściśle wklęsła na przedziale i ściśle wypukła na przedziale b) odwrotnie – jest ona ściśle wypukła na i ściśle wklęsła na
Wypukłość i wklęsłość są definiowane różnie – i nierównoważnie – przez różnych autorów. W ogólności funkcja
jest ściśle wklęsła na przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na przedziale i:
lub (równoważna definicja):
Podobnie funkcja jest ściśle wypukła na tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na tym przedziale i:
lub (równoważna definicja):
Inne definicje mały|300px|Wśród funkcji nieróżniczkowalnych istnieją takie, które w punkcie nieróżniczkowalności mają styczną pionową (tu Takie funkcje mogą ją przecinać, nie zmieniając przy tym wypukłości – przez co punkty te nie są zaliczane do przegięć. Wykresy takich funkcji nie spełniają też ścisłej geometrycznej definicji przegięcia, opartej na kątach wierzchołkowych między styczną a normalną.
Niektórzy matematycy definiują punkty przegięcia funkcji przez wypukłość i wklęsłość w sąsiedztwie, ale określone inaczej – za pomocą stycznych. Wymaga to wzmocnienia założenia ciągłości o różniczkowalność. Zdarza się też dodatkowy wymóg, by w tym sąsiedztwie przegięcia istniała także druga pochodna i to ciągła; takie funkcje bywają nazywane klasą .
Nierzadko zakłada się też dodatkowe własności funkcji w samym punkcie jak: określoność w tym punkcie (przyjmowanie w nim jakiejś wartości: ); ciągłośćTaką definicję sugeruje . Pisze wprost, że w punkcie przegięcia może nie być stycznej, co oznacza brak wymogu pochodnej, nawet niewłaściwej. Zarazem definiuje przegięcie jako punkt nie w dziedzinie, ale na krzywej, a krzywa bywa definiowana jako ciągły obraz przedziału liczbowego.: istnienie w nim pochodnych jednostronnych spełniających pewne nierówności; istnienie w nim stycznej Jeff Miller, Ambiguously Defined Mathematical Terms at the High School Level (ang.), 30 września 2018, zarchiwizowane z adresu [dostęp 2022-01-26]., czyli spełnianie jednego z dwóch warunków: istnienie pochodnej właściwej lub niewłaściwej (tj. nieskończonej): istnienie jednostronnych pochodnych niewłaściwych: różniczkowalność. – istnienie pochodnej właściwej (tj. skończonej): istnienie drugiej pochodnej (podwójna różniczkowalność) i jej ciągłość.:
Czasem przegięcie funkcji jest definiowane bez wypukłości ani wklęsłości. Niektórzy odwołują się do własności związanych ze styczną w tym punkcie nieformalnie przegięcie to punkt przecinania stycznej. To znaczenie obejmuje też funkcje bez zmiany wypukłości, w dodatku z wykresem po jednej stronie prostej normalnej – wbrew ogólnej definicji przegięcia krzywej płaskiej. Tak się może dziać w wypadku stycznych pionowych. Wykluczenie stycznych pionowych oznacza, że w przegięciu istnieje pochodna skończona Wtedy przebijanie stycznej to formalnie zmiana znaku funkcji gdzie to funkcja opisująca styczną w punkcie to wielomian stopnia co najwyżej pierwszego, czasem zwany funkcją liniową... Ta definicja również bywa zawężanaRóżnica może być zapisana inaczej. Jeśli to:
por. . Oprócz tego jeśli istnieje druga pochodna funkcji i jest ciągła to twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej pozwala to zapisać jako: dla pewnego
Przegięcie, wypukłość i wklęsłość bywają definiowane właśnie przez zachowanie znaku tego wyrażenia; por. .. Wszystkie takie przegięcia są zgodne z definicją geometryczną (dla ogólnej krzywej płaskiej); mimo to mogą one nie zmieniać wypukłości funkcji, co opisano dalej.
Zdarza się jeszcze inna definicja – pozwalająca rozstrzygnąć, czy punkt jest przegięciem, za pomocą samych pochodnych w tym punkcie. Wymaga to co najmniej trzykrotnej różniczkowalności (istnienia ).
Przykłady nierównoważności Powyższe definicje nie są sobie równoważne – istnieją funkcje z punktami spełniającymi tylko niektóre z nich. Są przypadki zmiany wypukłości, w których: druga pochodna jest nieciągła; nie ma drugiej pochodnej – por. funkcja W punkcie istnieje przegięcie, bo pierwsza pochodna ma tam swoje minimum. Mimo to drugie pochodne jednostronne są tam różne więc obustronna druga pochodna nie istnieje; nie ma pierwszej pochodnej właściwej (skończonej) – por. pierwiastek kubiczny (sześcienny); nie ma nawet niewłaściwej pierwszej pochodnej; nie ma stycznej; nie ma ciągłości; nie ma wartości w tym punkcie; por.
Istnieją też funkcje z punktami spełniającymi „geometryczną” definicję przegięcia (przez styczną), ale bez zmiany wypukłości w tym punkcie:
Ta funkcja jest różniczkowalna w zerze ale jej pochodna jest tam nieciągła i nawet nie ma granic jednostronnych. Warunek ciągłości pochodnej nie usuwa jednak takich przypadków. Nie robi tego nawet postulat dwukrotnej różniczkowalności z ciągłą drugą pochodną Istnieją funkcje tej klasy, które również przecinają swoją styczną bez zmiany wypukłości w tym punkcie:
Warunki konieczne i wystarczające mały|300px|Wykres czwartej potęgi: To przykład funkcji, która w pewnym punkcie ma zerową drugą pochodną, ale nie ma tam przegięcia. Druga pochodna nie zmienia tam znaku – po obu stronach jest dodatnia – a pierwsza pochodna nie ma tam ekstremum. Czwarta potęga jest ściśle wypukła w całej dziedzinie, a w zerze ma minimum. mały|300px|Wykres wielomianu czwartego stopnia: To przykład funkcji, której druga pochodna zeruje się w punkcie niebędącym ani przegięciem, ani ekstremum.
W przegięciach druga pochodna w ogólności nie musi istnieć, ale może przyjmować tylko zerową wartość . Ten warunek konieczny nie jest jednak warunkiem wystarczającym: jeśli obie pochodne (pierwsza i druga) się zerują, to punkt może nie być przegięciem, lecz ekstremum – por. jeśli druga pochodna się zeruje, a pierwsza nie, to punkt nie jest ekstremum, ale nie musi też być przegięciem; por. jedna z dalszych ilustracji.
Dla różnych klas funkcji można wskazać różne warunki wystarczające przegięcia: Jeśli funkcja ma obustronną pochodną w pewnym otoczeniu punktu wówczas warunkiem wystarczającym jest właściwe ekstremum lokalne pierwszej pochodnej w punkcie Ten warunek nie jest w ogólności konieczny – w sąsiedztwie przegięcia pochodna może w ogóle nie istnieć. Mimo to, tak jak napisano wyżej, czasem zakłada się różniczkowalność badanej funkcji w całym przedziale – wprost lub przez definiowanie wypukłości za pomocą stycznych. Warunkiem wystarczającym istnienia punktu przegięcia jest też istnienie drugiej pochodnej funkcji równej zeru w punkcie oraz zmiana jej znaku w tym punkcie. Dla funkcji trzykrotnie różniczkowalnej warunkiem wystarczającym jest: W ogólności: jeśli w jakimś punkcie pierwsza nieznikająca (różna od zera) pochodna jest rzędu nieparzystego większego niż dwa, to jest tam przegięcie.
Rola przegięć Poszukiwanie przegięć to jeden z klasycznych elementów badania przebiegu zmienności funkcji rzeczywistych Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej, [w:] Analiza matematyczna 1, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2022-01-23]. Punkty te mogą się pojawić w analizie pochodnych, począwszy od pierwszej – mogą się znaleźć wśród punktów krytycznych badanej funkcji Przegięcia – tak jak lokalne ekstrema – mogą występować zarówno wśród: punktów nieróżniczkowalności (braku pochodnej); przy czym taki punkt może być jednocześnie i ekstremum, i przegięciem; punktów stacjonarnych, czyli miejsc zerowych pierwszej pochodnej Takie punkty stacjonarne bez ekstremum w przypadku jednowymiarowym mogą należeć do przegięć. Bywają nazywane punktami siodłowymi [dostęp 2022-01-17]., przy czym te ostatnie są też definiowane inaczej – geometrycznie, jako punkty zerowej krzywizny. Wtedy punkty siodłowe nie są szczególnym przypadkiem różniczkowalnych przegięć, lecz ich uogólnieniem na wiele wymiarów.