mały|f jest funkcją o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y. Żółty owal w Y jest obrazem funkcji f.
Obraz – zbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny.
Obraz funkcji to obraz jej całej dziedziny; dla funkcji oznacza się go (ang. image – obraz) lub :
Zbiór ten jest też znany jako zbiór wartości Dziedzina, przeciwdziedzina i zbiór wartości funkcji, Matematyka z ZUT-em, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2023-12-22]. Anna Jeżewska, Zbiór wartości funkcji. Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-21]. Piotr Stachura, Odczytywanie dziedziny i zbioru wartości funkcji z wykresu, kanał Khan Academy na YouTube, 8 października 2014 [dostęp 2023-12-21]. lub przeciwdziedzina, przy czym dwie dalsze nazwy bywają stosowane wymiennie Anna Barbaszewska-Wiśniowska, Pojęcie funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina, pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl, 19 października 2015 [dostęp 2023-12-22].. Inne źródła definiują te dwa terminy inaczej niż obraz funkcjiPodobny problem istnieje w języku angielskim, z którego zapożyczono oznaczenia obrazu funkcji postaci bądź (ang. range – zbiór wartości, przeciwdziedzina; dosł. zakres)..
Obraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych Słownik teorio-mnogościowy, Katedra Podstaw Informatyki – Wydział Informatyki i Telekomunikacji Politechniki Wrocławskiej (WIT PWr), cs.pwr.edu.pl [dostęp 2025-05-13]..
Definicja Słowo „obraz” może oznaczać jedno z trzech poniższych, powiązanych ze sobą, pojęć. Dalej oznacza funkcję (w szczególności, np. w algebrze liniowej, operator) ze zbioru w zbiór
Obraz elementu Jeżeli jest elementem to czyli wartość funkcji na elemencie nazywa się obrazem poprzez
Obraz zbioru Obrazem zbioru w funkcji nazywa się podzbiór wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór
Jeżeli nie istnieje ryzyko pomyłki, to zamiast pisze się Zapis ten pozwala na interpretację obrazu poprzez jako funkcji, której dziedziną jest zbiór potęgowy (wszystkie podzbiory) zbioru a przeciwdziedziną zbiór potęgowy zbioru
Notacja Powyższe sposoby zapisu mogą prowadzić do nieścisłości. Alternatywą może być oddzielny symbol dla obrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi: Notacja strzałkowa gdzie
Notacja gwiazdkowa zamiast
Inne Alternatywną notacją wykorzystywaną m.in. w logice matematycznej i teorii mnogości jest .
Przykłady thumb|Brzeg zbioru Mandelbrota jako obraz okręgu jednostkowego względem odwzorowania thumb|Kardioida jako obraz okręgu jednostkowego. thumb|Krzywa sercowa jako obraz okręgu jednostkowego.
określona wzorem Obrazem zbioru poprzez jest Obrazem funkcji jest
dana wzorem Obrazem w jest a obrazem jest
Jeżeli jest rozmaitością, a jest rzutem kanonicznym wiązki stycznej na to przestrzenie styczne dla Jest to przykład wiązki włóknistej.
Własności Ogólne Niech dana będzie funkcja Dla wszystkich podzbiorów oraz zachodzą następujące własności: obraz jest podzbiorem przeciwdziedziny:
operacja obrazu jest monotoniczna, tzn. oraz
Obraz w ogólności nie zachowuje mocy podzbiorów. a równość zachodzi dla iniekcji (funkcji różnowartościowych).
Związki z algebrą zbiorów Zachodzą też poniższe związki z działaniami na zbiorach jak ich suma i przekrój :
W drugim wzorze zachodzi równość, jeśli funkcja jest różnowartościowa (iniektywna). Z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów:
Powyższe związki obrazu z algebrą (Boole’a) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów. Przez indukcję można udowodnić, że zachodzą dla dowolnej skończonej liczby zbiorów, a oprócz tego zachodzą dla dowolnej rodziny podzbiorów, także nieprzeliczalnej. Niech będzie rodziną indeksowaną podzbiorów a będzie rodziną indeksowaną podzbiorów Wówczas
W języku algebry podzbiorów powyższe obserwacje oznaczają, że funkcja brania obrazu jest homomorfizmem półkrat, lecz nie krat, ponieważ nie zawsze zachowuje przekroje.
Związki z przeciwobrazem Istnieją też ogólne związki obrazu z pojęciem przeciwobrazu: równość dla funkcji „na” (suriekcji); równość dla funkcji różnowartościowych (iniekcji).
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne [dostęp 2023-10-10]. [dostęp 2023-10-10]. Range of values , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-12-21].