Paradoks zbioru wszystkich zbiorów – paradoks tzw. „naiwnej” teorii mnogości odkryty w 1899 przez Cantora. Przykład antynomii logicznej (syntaktycznej), tzn. antynomii wynikającej z nie dość precyzyjnego używania pojęć teorii.
Paradoks jest efektem następującego rozumowania:
Przypuśćmy, że jest zbiorem wszystkich zbiorów i niech oznacza zbiór potęgowy zbioru . Z jednej strony, zbiór – jako zbiór wszystkich zbiorów – zawiera w sobie także zbiór: ; tzn., pisząc matematycznie: .Stąd moc zbioru jest nie większa od mocy zbioru ; co możemy zapisać przez następującą nierówność: . Z drugiej strony, na mocy twierdzenia Cantora, zbiór ma moc istotnie większą od mocy zbioru ; co piszemy jako: .
Źródłem tego paradoksu była praktyka naiwnej teorii mnogości polegająca na definiowaniu zbiorów z użyciem formuł logicznych bez zatroszczenia się o istnienie „dziedziny” tej formuły, czyli zbioru, z którego wybieramy elementy spełniające tę formułę. Np. definicja pozornie określa zbiór wszystkiego, w rzeczywistości określa ona klasę właściwą, a nie zbiór.
Podobnie intuicyjna i prawdziwa dla wszystkich zbiorów formuła (wynikająca zresztą z aksjomatu regularności) pozwala w naiwnej teorii mnogości zdefiniować zbiór . Jednak stwierdzenie, czy jakiś obiekt należy do tego zbioru, prowadzi wprost do paradoksu Russella.
O ile w naiwnej teorii mnogości powyższe rozumowanie prowadzi do niewytłumaczalnej sprzeczności (stąd określenie paradoks), o tyle w aksjomatycznej teorii mnogości jest ścisłym dowodem na nieistnienie zbioru wszystkich zbiorów.
Zobacz też paradoks Russella
Bibliografia
Linki zewnętrzne How Big are All Infinities Combined? (Cantor's Paradox) , kanał PBS Infinite Series na YouTube, 23 marca 2018 [dostęp 2024-08-22].
Kategoria:Paradoksy teorii mnogości