Liczba (liczba Eulera, liczba Nepera, podstawa logarytmu naturalnego) – stała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. Jest to liczba niewymierna, podobnie jak liczba π. W przybliżeniu Ciąg A001113 w On-Line Encyclopedia of Integer Sequences..
Definicja Liczba może być zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.
Granica ciągu Liczba stanowi granicę ciągu
Dowód zbieżności Wykażemy, że ciąg , gdzie jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.
Przykłady (obliczenia e z ciągu) (1) Obliczenia za pomocą kalkulatora
Wykorzystując zwykły kalkulator, podstawiamy do wzoru na wyrazy ciągu , czyli obliczamy wyraz , co daje już znakomite przybliżenie liczby z dokładnością do .
(2) Obliczenie numeryczne
Poniższy prosty kod w języku Python oblicza wybrane wyrazy ciągu , zaczynając od i zwiększając je co 5000 aż do liczby n_ max. Na końcu drukuje liczbę z 20 cyframi po przecinku dla porównania.import math n_max = 1000000 for n in range(1, n_max + 1, 5000): e_przyblizenie = (1 + 1/n) ** n print(f"n = {n:3d}, e ≈ {e_przyblizenie}") print(f"Dokładnie e = {math.e:.20f}...")
Suma szeregu Liczba jest równa suma szeregu potęgowego
gdzie jest silnią liczby
Za pomocą całki thumb|Pole powierzchni pod hiperbolą jest równe 1 Liczbę można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że:
(to znaczy, że liczba to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą od do jest równe ).
Za pomocą funkcji thumb|Wykres funkcji Liczbę można również zdefiniować jako taki argument funkcji
dla którego jej wartość jest największa.
Własności Liczba jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite w 1873 roku, w dziele „Sur la fonction expentielle”Charles Hermite: Sur la fonction exponentielle. C. R. Acad. Sci. Paris 77, 1873, s. 18–24, 74–79, 226–233. – prosty dowód opublikował Adolf Hurwitz w 1894A. Hurwitz, 1894, Dowód przestępności liczby e., Prace Matematyczno-Fizyczne, 5(1), 6–8., pdf.). Liczba jest podstawą takiej funkcji wykładniczej, że styczna do jej wykresu w punkcie ma współczynnik kierunkowy równy 1 Liczba jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie ma współczynnik kierunkowy równy . pochodna funkcji całka funkcji , gdzie jest dowolną stałą całkowania. z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie jest odwrotną do logarytmu naturalnego:
Jest jednym z elementów wzoru Eulera (zwanego też „najpiękniejszym wzorem matematyki”), wiążącej z innymi słynnymi liczbami: jednostką urojoną , , jednością i zerem:
Wzory na obliczenie Granice ciągów
(oba to tzw. wzory Stirlinga)
gdzie to podsilnia, definiowana kombinatorycznie jako liczba nieporządków zbioru -elementowego, algebraicznie zaś jako
Szeregi nieskończone
Iloczyny nieskończone
W 1980 roku, Nick Pippenger udowodnił wzór
gdzie n!!, to silnia podwójna.
Kultura W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym :
„We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!” Gdzie znak „!” oznacza cyfrę 0.
Inne interpretacje liczby Wkładamy do pewnego banku jedną złotówkę. Załóżmy, że oprocentowanie wkładu (stopa procentowa) w skali rocznej wynosi 100%. Ale odsetki mogą być doliczane do kwoty podstawowej w różnorodny sposób. Jeśli będą obliczane po upływie roku, to na koniec roku będziemy mieli 2 złote. Jeśli będą dwa okresy kapitalizacji (czyli odsetki obliczane dwa razy w roku), to na koniec roku będziemy mieć czyli 2,25 złotego. W przypadku kapitalizacji co kwartał otrzymamy co w przybliżeniu wynosi 2,44 zł. Jeśli kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły (czyli liczba okresów dąży do nieskończoności) to na koniec roku otrzymamy czyli złotych.
Dowód niewymierności Używamy -tego przybliżenia liczby , które będziemy zapisywać, dalej, przez :
Szacujemy błąd
Z tego wynika, że , gdzie
Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności:
Załóżmy, że jest liczbą wymierną. Czyli da się ją przedstawić w postaci gdzie
W tym wzorze bierzemy tak duże żeby było większe od
Wówczas:
Mnożąc stronami przez dostajemy:
więc
więc
Zostały same liczby całkowite poza , która całkowita nie jest.
To dowodzi sprzeczności, a więc i nieprawdziwości twierdzenia, że „ jest wymierne”.
Zobacz też logarytm binarny logarytm dziesiętny wzór Eulera
Przypisy
Bibliografia
I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, PWN, Warszawa 2019.
Linki zewnętrzne
Paweł Lubowiecki, Ciągi liczbowe cz. V – Liczba Eulera, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].
w rozwinięciu
Kategoria:Stałe matematyczne Kategoria:Analiza rzeczywista Kategoria:Logarytmy Kategoria:Leonhard Euler