Twierdzenie Darboux, twierdzenie o wartości pośredniej Piotr Stachura, Twierdzenie Darboux, kanał Khan Academy na YouTube, 13 lipca 2017 [dostęp 2023-11-22]. – twierdzenie analizy rzeczywistej mówiące, że każda rzeczywista funkcja ciągła określona na przedziale rzeczywistym ma własność Darboux, tj. przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między obrazami jego krańców Michał Bełdziński, Twierdzenie Darboux. Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-11-22].. Stąd inna nazwa twierdzenia: twierdzenie o przyjmowaniu wartości pośrednich.
Twierdzenie jest nazwane od Jeana Darboux; wiążą się z nim również nazwiska Bernarda Bolzano i Augustina Louisa Cauchy’ego (nazwy twierdzenie Bolzana-Cauchy’ego lub twierdzenie Cauchy’ego nie zdobyły popularności w polskiej literaturze matematycznej).
Twierdzenie Niech będzie funkcją ciągłą.
Jeżeli (tzn. wartości funkcji na końcach przedziałów mają różne znaki), to istnieje taki punkt należący do przedziału dla którego
Ogólniejsze sformułowanie
Ogólniej: każda funkcja ciągła ma własność Darboux, tzn. jeśli spełnia jedną z nierówności lub to istnieje taki punkt należący do przedziału dla którego
Oba sformułowania są równoważne: funkcje w obu z nich różnią się jedynie o stałą
Dowody Analityczny z definicji Cauchy’ego ciągłości Niech Bez straty ogólności można założyć, że jest liczbą z przedziału otwartego .
Niech , .
Wówczas zbiory i są niepuste. Zbiór A posiada ograniczenie górne, którym jest więc – na mocy aksjomatu ciągłości – istnieje . Dla danych oraz oznaczmy .
Wykażemy, że Istotnie, wobec ciągłości funkcji, właściwości supremum oraz rozłączności zbiorów i spełnione są następujące ciągi implikacji:
czyli:
w innym przypadku: .
Zatem poprzez sprzeczność dowodzi się, że nie jest możliwe, aby
Analityczny z definicji Heinego ciągłości Niech będzie funkcją oraz niech będzie liczbą z przedziału otwartego Zastosujmy rozumowanie analogiczne do metody równego podziału.
Zdefiniujmy indukcyjnie ciągi
jeśli to koniec dowodu,jeśli to jeśli to
Tak zdefiniowane ciągi mają następujące własności:
Z własności 1. 2. wynika, że ciągi jako monotoniczne i ograniczone są zbieżne i maję tę samą granicę. Oznaczmy
Na podstawie ciągłości funkcji ciągi są zbieżne, mają tę samą granicę oraz
Jednocześnie z własności 3. wynika zachowanie nierówności przy przejściu granicznym, tzn.
Stąd
Topologiczny Niech będzie funkcją oraz niech będzie liczbą z przedziału otwartego Przypuśćmy, że nie jest wartością funkcji Wówczas przeciwobraz przestrzeni topologicznej powinien być równy dziedzinie (którą tutaj jest przedział ), jednak wobec ciągłości funkcji będzie on sumą dwóch niepustych, rozłącznych, otwartych przeciwobrazów, a zatem przestrzenią niespójną, co wyklucza się z faktem spójności drogowej dziedziny. Wobec czego poprzez sprzeczność dowodzi się, że nie może nie być wartością funkcji.
Przedstawione rozumowanie wiąże się z twierdzeniem o szerszym zakresie mówiącym, że ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym. Przykładem funkcji ciągłej o niespójnym zbiorze wartości i niespójnej dziedzinie jest signum, tj. funkcja określona na zbiorze liczb rzeczywistych bez zera .
Przypisy
Bibliografia
Rozdział XXI. Elementy Topologii. § 1. Przestrzeń topologiczna. 1.10. Zbiór spójny, zbiory rozgraniczone, składowa zbioru.
Rozdział II. Przestrzenie Metryczne, odwzorowania ciągłe. § 10. Przestrzenie spójne. Tw. II.17.
Rozdział 4. Ciągłość. Ciągłość i spójność, Tw. 4.22.
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne Piotr Stachura, Twierdzenie Darboux, kanał Khan Academy na YouTube, 13 lipca 2017 [dostęp 2024-06-23]. [dostęp 2023-08-26].
Darboux