Półciągłość – własność funkcji określonych w przestrzeniach metryczych o wartościach rzeczywistych, słabsza od ciągłości. thumb|Wykres funkcji półciągłej z dołu w thumb|Wykres funkcji półciągłej z góry w

Definicja formalna Niech będzie przestrzenią metryczną, oraz niech dana będzie funkcja

Funkcja jest: półciągła z dołu w punkcie gdy

półciągła z góry w punkcie gdy

Funkcja jest półciągła z góry bądź z dołu w zbiorze gdy jest półciągła z góry bądź z dołu w każdym punkcie zbioru

Równoczesna połciągłość z góry i z dołu funkcji jest równoważna warunkowi

a zatem ciągłości funkcji w punkcie Z własności granic wynika, że jest półciągła z góry w wtedy i tylko wtedy, gdy jest półciągła z dołu w

Rozważa się też funkcje półciągłe z góry/z dołu w niemetrycznych przestrzeniach topologicznych.

Warunki równoważne Pod powyższymi założeniami następujące warunki są równoważne półciągłości z dołu funkcji w punkcie Warunki równoważne półciągłości z góry formułuje się analogicznie. jeśli oraz to jeśli to

jeśli jest punktem skupienia przestrzeni to

dla każdego istnieje takie że

Definicję półciągłości rozszerza się czasami na dowolne przestrzenie topologiczne w następujący sposób.

Niech będzie przestrzenią topologiczną oraz Funkcja

jest półciągła z dołu (odpowiednio: z góry) w punkcie gdy dla każdego istnieje takie otoczenie otwarte punktu że (odpowiednio: ) dla każedgo

Własności Kombinacja stożkowa funkcji półciągłych z dołu jest półciągła z dołu. Iloczyn nieujemnych funkcji półciągłych z dołu jest półciągły z dołu. Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa: Funkcja półciągła z dołu w przestrzeni zwartej osiąga swoje minimum. Twierdzenie Baire’aR. Baire, Leçons sur les fonctions discontinues, professées au collège de France, Gauthier-Villars, 1905.: Każda funkcja półciągła z dołu w przestrzeni metrycznej jest granicą rosnącego ciągu funkcji ciągłych.

Przykłady Funkcja dana wzorem

jest półciągła z góry w Funkcje podłoga i sufit są półciągłe odpowiednio: z góry i z dołu. Funkcja charakterystyczna zbioru otwartego jest półciągła z dołu. Funkcja charakterystyczna zbioru domkniętego jest półciągła z góry.

Przypisy

Bibliografia

Kategoria:Analiza matematyczna