thumb|300px|Wykres funkcji Weierstrassa w przedziale thumb|300px|Funkcja Weierstrassa z parametrami w przedziale Funkcja Weierstrassa – pierwszy opublikowany przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstrassa.
Tło historyczne Wielu matematyków przełomu XVIII i XIX wieku uważało, iż wszystkie funkcje ciągłe są różniczkowalne w znaczącym podzbiorze swojej dziedziny. Francuski fizyk, André Marie Ampère, starał się nawet uzasadnić ten pogląd. Sam Weierstraß przyznał, że słyszał od uczniów Riemanna, że ich nauczyciel sugerował istnienie kontrprzykładu na to przekonanie.
Prawdopodobnie (w roku 1830) Bernard Bolzano podał przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie dziedziny, lecz swojego wyniku nie opublikował. W 1860 roku szwajcarski matematyk Charles Cellérier podał przykład zbliżony do pomysłu Weierstrassa.
Konstrukcja funkcji Weierstrassa W oryginalnej publikacji, funkcja Weierstraßa zdefiniowana jest jako
gdzie jest pewną liczbą z przedziału (0,1) natomiast jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek
Wykres funkcji Weierstrassa Gdy to wykres funkcji Weierstrassa jest fraktalem oraz jego wymiar Minkowskiego wynosi
Istnieje nierozwiązana hipoteza mówiąca, że (pod założeniem ) wymiar Hausdorffa wykresu funkcji Weierstrassa jest równy jego wymiarowi Minkowskiego.
Dziedzina zespolona Znalezienie w dziedzinie zespolonej funkcji ciągłej, ale nie różniczkowalnej w żadnym punkcie jest dużo łatwiejsze. Przykładem takiej funkcji jest funkcja „sprzężenie”, tj.
Zobacz też
funkcja eliptyczna Weierstrassa
Przypisy A.M. Ampère, Recherche sur quelques points de la théorie des fonctions dérivées qui conduisent à une nouvelle démonstration du théorème de Taylor, et à l’expression finie des termes qu’on néglige lorsqu’on arrête cette série à un terme quelconque. „Journal de l’Ecole Polytechnique”, 6, no. 13 (1806), 148-181. B. Bolzano, K. Rychlik (Hrsg.): Funktionenlehre. Prag 1831.
P. Du Bois-Reymond, Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen, „J. Reine Angew. Math.” 79 (1875), 21–37.
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Paweł Mleczko, Tam i z powrotem, czyli o funkcji ciągłej niemającej stycznej do swojego wykresu w żadnym punkcie, Poznański Portal Matematyczny, matematyka.poznan.pl, 14 grudnia 2016 [dostęp 2024-10-05].
Kategoria:Geometria fraktalna Kategoria:Krzywe fraktalne Kategoria:Krzywe płaskie Kategoria:Przykłady funkcji rzeczywistych