mały|Fragment obrazu Szkoła Ateńska Rafaela Santiego (XVI wiek); cyrkiel trzyma Euklides, grecki matematyk z III wieku p.n.e. mały|Siedziba Instytutu Matematyki Uniwersytetu Oksfordzkiego w Anglii. Na ziemi znajduje się parkietaż Penrose’a; ten układ figur opisał po raz pierwszy jeden z pracowników tej placówki – Sir Roger Penrose.

Matematyka (z łac. mathematicus, od gr. μαθηματικός mathēmatikós, od mathēma, „nauka, lekcja, poznanie”) – nauka zaliczana do grupy formalnych, inaczej dedukcyjnych lub apriorycznych, a także do nauk ścisłych i definiująca tę grupę – matematyka stanowi ich fundament. Dotyczy ona ścisłych wniosków z przyjętych założeń – prawidłowości rozumowania, podobnie jak logika, jednak matematyka się z nią nie pokrywa. Ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej; muszą być czynione w naukach ścisłych, technice i zdarzają się w naukach humanistycznych, przez co zakres matematyki stale się powiększa razem z tymi naukami.

W pewnym sensie matematyka istnieje od czasów prehistorycznych, ponieważ już ludy paleolityczne posługiwały się pojęciem liczby i podstawami arytmetyki elementarnej. Starożytność to pojawienie się: właściwych, ściśle rozumianych dyscyplin matematycznych jak teoria liczb, ścisła geometria, zręby algebry oraz podstawy logiki, pierwotnie zaliczanej do filozofii; matematycznego przyrodoznawstwa jak ilościowa fizyka i astronomia.

Średniowiecze i wczesna nowożytność to narodziny nowych dyscyplin jak kombinatoryka, analiza matematyczna i probabilistyka, jednak pozostawała to nauka oparta na pojęciach liczby i przestrzeni rozumianej fizycznie. Pozostaje to prawdą o większości matematyki elementarnej nauczanej w szkołach podstawowych i średnich, ale w XIX wieku matematyka wykroczyła poza te pojęcia, kiedy: powstały logika matematyczna, teoria mnogości i algebra abstrakcyjna; geometrię zdefiniowano na nowo, w oderwaniu od przestrzeni fizycznej.

Matematyka wyższa bada i klasyczne przedmioty tej nauki, i obiekty bardziej abstrakcyjne, zdefiniowane odrębnie; przykłady to wspomniane trzy działy oraz topologia.

Prehistoryczne korzenie matematyki dotyczą problemów praktycznych i z czasem matematyka stosowana wytworzyła szereg dyscyplin powiązanych z różnymi obszarami kultury jak nauki empiryczne, technika, sztuka, sport czy polityka. Obecnie standardem w naukach eksperymentalnych jest potwierdzanie istnienia obserwowanych zależności za pomocą metod statystyki, będącej działem matematyki. Pomaga to odróżnić rzeczywiste zależności od przypadkowej zbieżności. Leonardo da Vinci stwierdził w Traktacie o malarstwie: „Żadne ludzkie badania nie mogą być nazywane prawdziwą nauką, jeśli nie mogą być zademonstrowane matematycznie”. Z drugiej strony najpóźniej w starożytnej Grecji zapoczątkowano matematyczne badania podstawowe znane jako matematyka czysta lub teoretyczna. Bywa uważana za formę sztukiPatrz cytaty w sekcji Definicje i wizje.; niektóre z jej wyników z czasem znalazły zastosowanie, kiedy okazało się, że potrzebuje ich fizyka lub informatyka.

Matematyka wywarła też wpływ na filozofię i religię, np. inspirując ruch pitagorejczyków i platonizm; rozwój logiki i innych podstaw matematyki dostarczył nowych narzędzi ontologii, metafizyce, epistemologii i filozofii języka, zainspirował pewne idee w filozofii umysłu, a matematyka najpóźniej w starożytności się stała przedmiotem refleksji znanej jako filozofia matematyki. Jednym z jej zagadnień jest status osiągnięć matematyków; bywają zaliczane do odkryć przez większość stanowisk realistycznych, według których nauka ta opisuje rzeczywistość obiektywną, niezależną od ludzkiego umysłu. Przedstawiciele innych doktrynPrzykłady to średniowieczny konceptualizm, nowożytny intuicjonizm i przeczący realizmowi nominalizm. klasyfikują te prace raczej jako wynalazki. Innym przedmiotem sporu jest związek matematyki z logiką, choć badania z XIX i XX wieku przekreśliły tradycyjny logicyzm próbujący redukować założenia matematyki do praw logicznych.

Matematyka bywa nazywana królową nauk; na ich tle wyróżnia się: samodzielnością i niezależnością od innych badań, choć korzysta z osiągnięć techniki; wyjątkowo rozległym wpływem; pewnością rezultatów, rzadko podlegających rewizji.

Definicje i wizje Paul Dirac stwierdził: „Matematyka jest narzędziem stworzonym specjalnie do wszelkich abstrakcyjnych koncepcji i nie ma ograniczeń dla jej potęgi w tym zakresie”Mathematics is the tool specially suited for dealing with abstract concepts of any kind and there is no limit to its power in this field. . Benjamin Peirce nazwał ją „nauką, która wyciąga właściwe wnioski”The science that draws necessary conclusions.; za: Peirce, s. 97.. Henri Poincaré określił matematykę jako „sztukę nadawania takich samych nazw różnym rzeczom”Mathematics is the art of giving the same name to different things.; za: . David Hilbert uznał, że „sztuka uprawiania matematyki zawiera się w znajdowaniu szczególnych przypadków, które zawierają w sobie zalążki uogólnień”The art of doing mathematics consists in finding that special case which contains all the germs of generality.; za: . Poeta William Wordsworth stwierdził: „Matematyka jest niezależnym światem stworzonym przez czystą inteligencję”[Mathematics] is an independent world created out of pure intelligence.; za: . Nikołaj Łobaczewski uznał, że „Nie ma gałęzi matematyki, choćby nie wiem jak abstrakcyjnej, która pewnego dnia nie zostałaby zastosowana do zjawisk realnego świata”. Immanuel Kant stwierdził: „Matematyka jest najjaskrawszym przykładem, jak czysty rozum może skutecznie rozszerzać swoją domenę bez jakiejkolwiek pomocy doświadczenia”The Mathematical Intelligencer, t. 13, nr 1, Winter 1991..

Główne działy

Matematyka jest dynamiczną symbiozą dziedzin, działów czy teorii, które przenikają się oraz zależą jedne od drugich. Powstają wciąż nowe teorie, stare obumierają, a czasem znowu wracają do życiaBogate teorie matematyczne są w stanie modelować w zasadzie całą matematykę. Bywa, że pewne działy nawzajem zawierają się w sposób całkiem naturalny. W geometrii można definiować geometrycznie algebrę, a w algebrze – algebraicznie geometrię. To powoduje pewną dowolność każdej klasyfikacji. Są też działy będące pomostami, jak algebra topologiczna (nie mylić z topologią algebraiczną), która, formalnie mówiąc, zawiera zarówno topologię, jak i algebrę.. Matematyka wymyka się klasyfikacji lub zmusza do tworzenia klasyfikacji wciąż na nowo.

Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne prowadzi klasyfikację gałęzi matematyki, w których prowadzone są aktywne badania naukowe. Ta klasyfikacja jest uaktualniana co pewien czas, aby odzwierciedlić zmiany w zainteresowaniach matematyków – od stycznia 2020 obowiązuje wersja określana jako MSC 2020 (Mathematics Subject Classification 2020). MSC jest używane przez wiele czasopism matematycznych oraz baz danych w rodzaju Mathematical Reviews. Klasyfikacja ta obejmuje opisane poniżej główne gałęzie matematyki, z których każda jest dalej dzielona. Łącznie zawiera ona ponad 5000 szczegółowych dziedzin matematyki i dziedzin z matematyką związanych. Każda dziedzina ma przypisany pięcioznakowy kod.

Logika i podstawy Podstawy matematyki definiują język matematyki, sposoby przeprowadzania dowodów matematycznych, metody budowania jej struktur i teorii oraz określają własności jej podstawowych obiektów, takich jak zbiór. 03Bxx Logika ogólna 03Cxx Teoria modeli 03Dxx Teoria obliczeń i teoria rekursji 03Exx Teoria mnogości 03Fxx Teoria dowodu, matematyka konstruktywna, metamatematyka 03Gxx Logika algebraiczna 03Hxx Niestandardowe modele

Algebra Algebra to dział matematyki zajmujący się strukturami algebraicznymi, porządkowymi, relacjami i uogólniający rozmaite własności działań wspólne dla różnych zbiorów, w których działania takie mogą być przeprowadzane. 05-xx Kombinatoryka i teoria grafów 06-xx Porządki, kraty, algebry Boole’a, uporządkowane struktury algebraiczne. Często zaliczane są one do teorii mnogości, jednak MSC inaczej je klasyfikujeTradycyjnie, teoria zbiorów uporządkowanych była (już u Cantora) działem teorii mnogości; w szczególności monografia Sierpińskiego, Cardinal and ordinal numbers, w połowie o uporządkowaniach (liniowych), należy do teorii mnogości, a nie do algebry, mimo pewnych algebraicznych akcentów.. 08-xx Ogólne systemy algebraiczne 11-xx Teoria liczb 12-xx Teoria ciał i wielomianów 13-xx Pierścienie i algebry przemienne 14-xx Geometria algebraiczna 15-xx Algebra liniowa i n-liniowa; teoria macierzy 16-xx Pierścienie i algebry łączne 17-xx Niełączne pierścienie i algebry 18-xx Teoria kategorii, algebra homologiczna 19-xx K-teoria 20-xx Teoria grup i jej uogólnienia 22-xx Grupy topologiczne, grupy Liego

Analiza Analiza matematyczna bada pochodne, całki, miary, sumy szeregów, równania różniczkowe i inne pojęcia związane najogólniej mówiąc z przechodzeniem do granicy. 26-xx Teoria funkcji rzeczywistych 28-xx Teoria miary i całki 30-xx Funkcje zmiennej zespolonej 31-xx Teoria potencjału 32-xx Funkcje wielu zmiennych zespolonych i przestrzenie analityczne 33-xx Funkcje specjalne 34-xx Równania różniczkowe zwyczajne 35-xx Równania różniczkowe cząstkowe 37-xx Teoria układów dynamicznych i ergodyczności 39-xx Równania różnicowe i równania funkcyjne 40-xx Ciągi, szeregi 41-xx Aproksymacja 42-xx Analiza Fouriera 43-xx Abstrakcyjna analiza harmoniczna 44-xx Transformacje całkowe, rachunek operatorów 45-xx Równania całkowe 46-xx Analiza funkcjonalna 47-xx Teoria operatorów 49-xx Rachunek wariacyjny i optymalizacja 49-xx Analiza zespolona i twierdzenie podstawowe Cauchy’ego

Geometria Geometria zajmowała się kolejno przestrzeniami euklidesowymi, sferycznymi, afinicznymi i rzutowymi, hiperbolicznymi, ogólniej rozmaitościami Riemanna i w końcu stała się dziedziną badającą dla wybranych przekształceń ich niezmienniki, od najprostszych, takich jak odległość, pole powierzchni, miara kąta, przez bardziej zaawansowane, jak krzywizna, punkt stały, czy wymiar. 51-xx Geometria 52-xx Geometryczne pojęcie wypukłości, wielotopy, geometria dyskretna 53-xx Geometria różniczkowa

Topologia Topologia (zwana początkowo geometria situs, „geometrią położenia” lub analysis situs, „analizą położenia”) w oryginalnym sformułowaniu jest nauką badającą te właściwości przestrzeni, które nie zmieniają się przy przekształceniach takich jak rozciąganie, skręcanie albo obroty. Do własności takich należy na przykład liczba otworów, jakie znajdują się w danej bryle geometrycznej. 54-xx Topologia ogólna 55-xx Topologia algebraiczna, teoria homologii, teoria homotopii 57-xx Rozmaitości topologiczne i kompleksy komórkowe, teoria węzłów 58-xx Analiza globalna, analiza na rozmaitościach

Matematyka dyskretna Często (choć nie w MSC) wyróżnia się oddzielnie grupę dziedzin, które badają struktury nieciągłe, sprowadzające się do zbiorów przeliczalnych. Do matematyki dyskretnej zalicza się m.in. (wymienione także w odpowiednich miejscach klasyfikacji MSC) kombinatoryka kryptologia logika matematyczna programowanie liniowe teoria gier (pewne działy) teoria grafów teoria informacji (elementarna jej część) teoria liczb (po części) teoria matroidów teoria węzłów (częściowo) teoria konfiguracji geometria skończona algorytmika teoria złożoności

Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa Statystyka zajmuje się wnioskowaniem o całej populacji nieco różniących się obiektów (np. ludzi) na podstawie obserwacji części tej populacji (tzw. próby statystycznej). 60-xx Rachunek prawdopodobieństwa i procesy stochastyczne 62-07 Analiza danych 62-09 Metody graficzne statystyki 62Cxx Teoria decyzji 62D05 Teoria próbkowania 62Exx Rozkłady prawdopodobieństwa 62Fxx Teoria estymacji 62Gxx Statystyka nieparametryczna 62Hxx Analiza danych wielowymiarowych 62Jxx Metody liniowe statystyki 62Kxx Projektowanie eksperymentów 62Lxx Metody sekwencyjne statystyki 62Mxx Wnioskowanie z procesów stochastycznych