Miara Dieudonnégo – przykład miary zewnętrznie regularnej, określonej na σ-ciele zbiorów borelowskich przestrzeni tj. przestrzeni wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych z topologią porządkową. Nazwa tej miary została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Jeana Dieudonnégo.
Konstrukcja Na zbiorze (liczbie porządkowej) można rozważać topologię porządkową. Można wykazać, że σ-ciało Bor(ω1) borelowskich podzbiorów przestrzeni ω1 daje się opisać w następujący sposób:
gdzie Club(ω1) oznacza zbiór wszystkich clubów na liczbie kardynalnej tj. rodzinę jej domkniętych i nieograniczonych podzbiorów.
Funkcja
dana wzorem: gdy istnieje taki zbiór C ∈ Club(ω1), że C ⊆ A, oraz w przeciwnym wypadku,
dla A ∈ Bor(ω1), jest miarą. Miarę tę nazywa się miarą DieudonnégoFremlin, David: Topological Measure Spaces, „Measure Theory”, tom 4. Torres Fremlin. ..
Własności więc miara Dieudonnégo jest miarą probablilistyczną; miara ta przyjmuje tylko dwie wartości: 0 i 1. Miara Dieudonnégo jest zewnętrznie regularna. Miara Dieudonnégo jest zupełna. Przy założeniu AD, każdy podzbiór ω1 jest mierzalny w sensie miary Dieudonnégo (czyli każdy podzbiór albo jest niestacjonarny albo zawiera zbiór domknięty nieograniczony), tj. pod tym założeniem ω1 jest liczbą mierzalną. Jednocześnie istnieje podzbiór produktu który nie jest mierzalny względem odpowiedniej miary produktowejKharazishvili, A.B.: A note on the Sierpiński partition. Journal of Applied Analysis, 2(1996), s. 43. .. (To ostatnie stwierdzenie jest twierdzeniem w ZF + DC.)
Przypisy
Dieudonné