Liczby zaprzyjaźnione – para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników właściwych (mniejszych od tej liczby) każdej z tych liczb równa się drugiej liczbie.
Para Pitagorasa Pierwszą parą takich liczb jest 220 i 284, ponieważ: 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284), 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220).
Została ona podana już przez Pitagorasa. Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystości.
Pary mniejsze od miliona Oto wszystkie pary liczb zaprzyjaźnionych, z których co najmniej jedna liczba jest mniejsza od miliona:
Wzór Tabita Wzór generujący niektóre liczby zaprzyjaźnione został znaleziony przez arabskiego matematyka Tabita ibn Qurra (826–901) ok. roku 850.
Niech: będzie liczbą naturalną,
Jeśli i są liczbami pierwszymi, to i
są liczbami zaprzyjaźnionymi.
Przy użyciu powyższej metody można odnaleźć pary (220, 284), (17296, 18416) oraz (9363584, 9437056), ale już nie np. (6232, 6368). Metoda ta sprawdza się dla = 2, 4 oraz 7, ale nie dla żadnego innego .
Wzór Eulera Euler uogólnił wzór Tabita, podając regułę, która umożliwia znajdowanie wszystkich liczb zaprzyjaźnionych w postaci par spełniających poniższy warunek:
Jeżeli liczby naturalne i gdzie są takie, że wszystkie trzy liczby
są pierwsze, to wtedy liczby i tworzą parę liczb zaprzyjaźnionych.
Dla otrzymujemy wzór Tabita.
Poszukiwania liczb zaprzyjaźnionych Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowała się ta sama grupa matematyków, która poszukiwała liczb pierwszych: Mersenne, Fermat, a także Kartezjusz. Tematem tym zajmował się również polski siedemnastowieczny matematyk Jan Brożek. Euler podaje listę 64 zaprzyjaźnionych par, z których dwie pary okazały się (po blisko dwustu latach) „nieprzyjazne”. W 2001 roku znano milion liczb zaprzyjaźnionych, w 2007 roku prawie 12 mln. Obecnie znaleziono ponad miliard takich liczb.
Zobacz też liczby towarzyskie
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Amicable numbers , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Z Kategoria:Otwarte problemy teorii liczb Kategoria:Dwuczłonowe relacje matematyczne Kategoria:Teoria podzielności