Równanie Diraca – jedno z fundamentalnych równań w relatywistycznej mechanice kwantowej, sformułowane przez angielskiego fizyka Paula Diraca w 1928 roku.
Jest słuszne dla cząstek o dowolnie wielkich energiach (tzw. cząstek relatywistycznych) o spinie 1/2 (fermiony, np. elektrony, kwarki), swobodnych i oddziałujących z polem elektromagnetycznym. Istnienie spinu wynika z samego żądania relatywistycznej niezmienniczości równania ruchu cząstek. Odpowiada równaniu Pauliego, które także zawiera spin cząstek, ale wprowadza go w sposób fenomenologiczny, niejako sztuczny, a jedynie dlatego, by otrzymać zgodność z doświadczeniem Sterna-Gerlacha (rozszerzając formalizm nierelatywistycznego równania Schrödingera).
Równanie Diraca jest równaniem macierzowym – de facto stanowi ono układ 4 równań ze względu na fakt, iż symbole gamma (lub alfa, beta), występujące w tym równaniu, są macierzami
Równania Diraca zapisuje się w postaci jawnie relatywistycznie niezmienniczej lub w tzw. obrazie Schrödingera. Ta ostatnia postać została najpierw wyprowadzona przez Diraca i jest stosowana ze względu na wygodę do wykonywania obliczeń, gdyż odróżnia współrzędne przestrzenne od współrzędnej czasowej.
Równanie Diraca zostało potwierdzone w odniesieniu do struktury subtelnej widma atomu wodoru, wykazując znakomitą zgodność z pomiarami. Przewiduje istnienie antycząstek. Niektóre jednak efekty, takie jak kreacja i anihilacja cząstek czy przesunięcie Lamba tłumaczy dopiero elektrodynamika kwantowa.
Macierze gamma γμ Macierze gamma to cztery macierze zespolone o wymiarach spełniające 16 reguł antykomutacyjnych w postaci
gdzie:
– tzw. antykomutator, – elementy tensora metrycznego czasoprzestrzeni np. itd., – macierz jednostkowa
Powyższa reguła określająca macierze gamma wynika m.in. z wymagania, by spełnione było równanie Kleina-Gordona.
Reprezentacje macierzy gamma Jest bardzo wiele możliwych sposobów wyboru macierzy, które spełniają podane wyżej warunki, np.
a). reprezentacja Pauliego-Diraca (standardowa)
gdzie: - macierze Pauliego, - macierz jednostkowa b). Reprezentacja Weyla (chiralna)
gdzie: - macierze Pauliego, - macierz jednostkowa
Jawnie relatywistycznie niezmiennicza postać równania Diraca Znaczenie jawnie niezmienniczej postaci Równania Diraca zapisane w postaci jawnie relatywistycznie niezmienniczej to taka postać równania Diraca, która formalnie nie odróżnia czasu od współrzędnych przestrzennych, ale: traktuje czas i współrzędne przestrzenne położenia jako współrzędne czterowektora położenia cząstki w czasoprzestrzeni nie wyróżnia pochodnej po czasie w stosunku do pochodnych po współrzędnych przestrzennych (pochodna po czasie jest elementem czterogradientu, którego pozostałymi trzema elementami są pochodne po współrzędnych przestrzennych).
Równanie tak zapisane ma identyczną postać w dowolnym układzie inercjalnym (z jedyną zmianą, że zamiast współrzędnych pojawią się współrzędne właściwe dla innego układu).
Równanie cząstki swobodnej W zapisie jawnie relatywistycznie niezmienniczym równanie Diraca dla cząstki swobodnej ma postać
gdzie:
– współrzędne punktu w czasoprzestrzeni, – element czterogradientu – macierze gamma Diraca, tj. – masa cząstki (tzw. masa spoczynkowa), – funkcja falowa o 4 składowych zespolonych, tzw. bispinor Diraca, – jednostka urojona, – stała Plancka podzielona przez – prędkość światła, przy czym w zapisie równania Diraca zastosowano konwencję sumacyjną Einsteina, polegającą na pomijaniu znaku sumy, gdy powtarza się ten sam indeks, tj.
Konwencja ta jest stosowana w całym tym artykule.
Równanie cząstki oddziałującej z polem elektromagnetycznym Jeżeli cząstka nie jest swobodna, ale oddziałuje z zewnętrznym polem elektromagnetycznym, to równanie Diraca przyjmuje postać
gdzie: – ładunek cząstki, – potencjał wektorowy pola zapisany jako czterowektor kowariantny.
Formalnie równanie to można otrzymać z równania Diraca cząstki swobodnej dokonując podstawienia (tzw. reguły Jordana)
Funkcja falowa Ψ(xν) Funkcja falowa zwana bispinorem Diraca, jest funkcją o 4 składowych zespolonych; zapisuje się ją w postaci kolumny
przy czym oznacza położenie cząstki w czasoprzestrzeni. Nazwa bi-spinor oznacza podwójny spinor. Spinor występuje w równaniu Pauliego, gdzie jest funkcją falową o 2 składnikach, opisujących 2 składowe spinowe (w równaniu Schrödingera funkcja falowa jest 1-składnikowa).
Interpretacja składowych bispinora Jeżeli pęd jest skierowany w kierunku osi z, to dwie górne składowe bispinora są funkcjami falowymi cząstki: jedna z nich opisuje składową spinu w kierunku zgodnym z wektorem zewnętrznego pola magnetycznego, druga w kierunku przeciwnym.
Dwie dolne składowe odpowiadają analogicznym stanom spinowym antycząstki.
Dla innego skierowania pędu interpretacja taka nie jest jednak właściwa.
Bispinor hermitowsko sprzężony Definiuje się bispinor hermitowsko sprzężony do bispinora – przedstawia on wektor w postaci wiesza, którego elementami są sprzężenia zespolone składowych bispinora (przy czym oznacza sprzężenie hermitowskie)
Gęstość prawdopodobieństwa w teorii Diraca Gęstość prawdopodobieństwa definiuje się analogicznie jak w teorii Schrödingera
W definicji gęstości prawdopodobieństwa dla równania Diraca istotna jest kolejność czynników: musi być przed gdyż występuje tu mnożenie wektorów w postaci wiersza i kolumny, i tylko dla takiej kolejności mnożenie da w wyniku skalar. (W analogicznym wyrażeniu na gęstość prawdopodobieństwa dla równania Schrödingera funkcja falowa jest skalarem, stąd kolejność mnożenia nie ma znaczenia).
Wykonując obliczenia otrzymamy
Wielkość oznacza, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki materii w położeniu jest sumą prawdopodobieństw znalezienia jej w postaci cząstki w stanach spinowych w górę lub w dół, lub w postaci antycząstki w stanach spinowych w górę lub w dół.
Trzeci rodzaj bispinora – bispinor Prócz bispinorów oraz definiuje się bispinor w postaci
Powyższy bispinor jest używany do wyrażenia prądów prawdopodobieństwa, odpowiadających relatywistycznie niezmienniczej postaci równania Diraca.
Równanie Diraca w obrazie Schrödingera Obraz Schrödingera Równanie Schrödingera ma postać
gdzie:
jest operatorem Hamiltona zależnym tylko od współrzędnych przestrzennych, zaś po prawej stronie równania występuje pochodna cząstkowa po czasie.
Dowolne równanie mechaniki kwantowej można zapisać w analogicznej postaci, tj. takiej że z jednej strony równania mamy operator Hamiltona, a z drugiej operator pochodnej czasowej. Taki zapis nazywa się obrazem Schrödingera (lub postacią Schrödingera).
Równanie Diraca w obrazie Schrödingera Równanie Diraca można przekształcić do postaci w obrazie Schrödingera, wprowadzając macierze alfa i beta
Mnożąc obustronnie równanie Diraca podane w postaci jawnie relatywistycznie niezmienniczej przez macierz otrzymuje się równanie
gdzie: – prędkość światła, – wektor utworzony z macierzy alfa, – wektorowy operator pędu, – masa cząstki, – czteroskładnikowa funkcja falowa Diraca.
Operator
jest więc operatorem Hamiltona swobodnego, relatywistycznego fermionu o spinie 1/2, analogicznym do operatora Hamiltona cząstki swobodnej w równaniu Schrödingera. W równaniu Diraca operator Hamiltona ma postać operatora macierzowego podczas gdy w równaniu Schrödingera wyraża się przez pojedynczy operator
Równanie Diraca zapisane w obrazie Schrödingera nie jest jawnie relatywistycznie niezmiennicze, gdyż współrzędna czasowa jest tu wyróżniona. Zapis taki jest jednak wygodny do wykonywania obliczeń w konkretnym układzie odniesienia.
Rozwiązanie równania Diraca dla cząstki swobodnej Gdy cząstka jest swobodna, to funkcja falowa nie powinna zależeć od współrzędnych, czyli co formalnie oznacza, że i równanie Diraca przyjmuje postać
Rozwiązania tego równania mają postać
Pierwsze odpowiada cząstce (np. elektronowi) o energii drugie antycząstce (np. pozytonowi) także o energii .
Równanie Diraca dla cząstki w polu elektromagnetycznym Jeżeli cząstka ma ładunek i oddziałuje z polem elektromagnetycznym o potencjale skalarnym i potencjale wektorowym to operator Hamiltona w równaniu Diraca, zapisanym w obrazie Schrödingera, otrzymuje się, stosując podstawiania (tzw. reguły Jordana)
Operator Hamiltona przyjmuje postać
Pole traktuje się tu jako klasyczne pole Maxwella, tj. nie poddane tzw. procesowi drugiego kwantowania. Oznacza to, że nie uwzględnia się tu faktu, iż pole elektromagnetyczne występuje de facto w postaci kwantów energii, fotonów. Pominięcie tego jest uzasadnione wtedy, gdy pole ma dużą energię wobec energii cząstki.
Operator spinu Pokażemy, że operator spinu wynika w naturalny sposób z równania Diraca, tj. z samego faktu, iż równanie to ma postać relatywistycznie niezmienniczą. M.in. z tej racji równanie Diraca stanowi „klejnot fizyki”. (Dla porównania: Pauli wprowadził operator spinu w sposób fenomenologiczny, tj. zmodyfikował jedynie równania Schrödingera tak, by uzyskać zgodność opisu z wynikami eksperymentów, gdzie ujawnia się spin cząstek).
Macierze sigma Diraca
lub macierzami Pauliego, zaś jest macierzą zerową
Macierz te mają wymiar Przy czym zachodzą równości
Komutator hamiltonianu z operatorem momentu pędu Obliczamy komutator hamiltonianu cząstki swobodnej z operatorem momentu pędu gdzie:
Np. dla składowej
otrzymamy
Oznacza to, że moment pędu nie komutuje z hamiltonianem, nie jest więc zachowany (nie jest stałą ruchu).
Definicja operatora spinu Diraca Wektorowy operator spinu definiuje się, żądając (1) operator całkowitego momentu pędu cząstki (tj. suma operatora spinu Diraca i operatora orbitalnego momentu pędu ) musi komutować z hamiltonianem równania Diraca dla cząstki swobodnej (jeżeli bowiem cząstka jest swobodna, to jej całkowity moment pędu musi być zachowany) (2) operator spinu Diraca musi spełniać odpowiednie reguły komutacyjne (dokładniej warunek ten omówiono niżej – patrz sekcja „Komutatory operatorów spinu ”).
Mamy więc
oraz (1) (2)
gdzie – tensor zupełnie antysymetryczny.
Warunki (1) i (2) są spełnione, jeżeli składowe operatora spinu mają postać
czyli:
Składowe operator spinu są więc w reprezentacji macierzowej macierzami w odróżnieniu od składowych operatora spinu Pauliego, które są macierzami
Np.
Sens fizyczny operatora spinu Diraca Sens fizyczny każdej ze składowych operatora spinu jest analogiczny. Np. operator spinu Diraca odpowiada pomiarowi składowej -owej spinu cząstki – zgodnej z kierunkiem osi lub przeciwnej do kierunku tej osi, oraz pomiarowi składowej spinu antycząstki zgodnej i przeciwnej do osi (Dla porównania, operator spinu Pauliego odpowiada tylko pomiarowi składowej -owej spinu cząstki; równanie Pauliego nie przewiduje bowiem istnienia antycząstek.)
Kwadrat operatora spinu Kwadrat operatora spinu Diraca ma postać:
Podstawiając wyrażenia na operatory otrzymuje się:
gdzie są macierzami odpowiednio jednostkową i zerową, zaś – macierz jednostkowa
Pierwiastek ze średniej wartości operatora określa wartość mierzonego spinu, przy czym
Ponieważ wektor stanu jest z założenia unormowany, to Stąd:
Powyższy wynik jest zgodny z ogólnym wzorem na długość wektora momentu pędu o liczbie spinowej
przy czym dla otrzymuje się wcześniej podany wynik.
Tak więc pomiar spinu na cząstce Diraca daje zawsze wartość spinu przy czym mierzy się spin cząstki albo antycząstki.
Komutatory operatorów spinu Z pomiarów wynika, że jest możliwe zmierzenie tylko jednej spośród trzech składowych wektora spinu. Z tej racji na operatory spinu nakłada się reguły komutacyjne identyczne jak reguły komutacyjne operatorów momentu pędu czy operatorów spinu Pauliego:
Operatory te nie komutują ze sobą (tzn. komutatory są ), co odpowiada faktom eksperymentalnym, iż jest możliwe jednoczesne zmierzenie tylko jednej ze składowych spinu.
Komutatory operatorów oraz