Centralizator (centrum), normalizator – specjalne podgrupy danej grupy mające szerokie zastosowaniu w jej badaniu.
Centralizator Niech Centralizatorem elementu nazywamy podgrupę
Centralizator elementu zawiera więc wszystkie elementy przemienne z danym.
Powyższą konstrukcję można uogólnić do dowolnego podzbioru niekoniecznie będącego podgrupą.
Centralizatorem zbioru nazywamy grupę
Grupa ta jest przemienna z każdym z elementów zbioru
Centrum Centrum grupy – szczególny przypadek centralizatora:
Centrum jest więc podgrupą elementów, które są przemienne z każdym elementem grupy mamy zatem
O centralizatorze elementu można myśleć jako o największej (w sensie inkluzji) podgrupie zawierającej w swoim centrum
Indeks grupy względem centrum można interpretować jako wskaźnik abelowości grupy – im mniejsza to liczba, tym więcej elementów w grupie jest ze sobą przemiennych i odwrotnie.
W ten sam sposób definiujemy centrum pierścienia,
Twierdzenie Schura Jeśli to
Dowód twierdzenia Schura Czytelnik znajdzie w.
Normalizator Dopełnieniem konceptu centralizatora jest tzw. normalizator zbioru
Normalizatorem w jest podgrupa
Normalizator swoją nazwę zawdzięcza faktowi, że jeśli to jest największą podgrupą mającą jako swoją podgrupę normalną.
Działanie grupy na zbiorze Niech będzie dowolną podgrupą. Rozpatrzmy działanie grupy grupy na zbiorze warstw zadane wzorem Wówczas jest podgrupą normalną Jest to największa ze względu na zawieranie podgrupa normalna zawarta w
Jeśli to
Oznaczenia W oznaczeniach centralizatora i normalizatora, o ile nie prowadzi to do nieporozumień, można pominąć indeks oznaczający grupę względem której rozpatruje się centralizator lub normalizator danego elementu, czy zbioru. W grupie mamy więc oraz dla dowolnego zbioru
Własności Niech będą grupami, Niech co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy i komutują ze sobą. Jeśli to Jeśli jest abelowa, to oraz grupa jest abelowa jest zawsze podgrupą normalną jest podgrupą normalną
Jeśli grupa ilorazowa jest cykliczna, to jest abelowa. Jeśli jest grupą nieabelową, to jej indeks względem jest większy od Jeśli to
Uwagi Jeżeli wtedy grupa ilorazowa jest izomorficzna z podgrupą grupą automorfizmów
Jeżeli to jest izomorficzna z podgrupą zawierającą wszystkie automorfizmy wewnętrzne grupy
Jeżeli to homomorfizm taki, że pozwala na opisanie oraz w terminach działania grupy na grupie jest stabilizatorem w jest podgrupą punktów stałych
Zobacz też działanie grupy na zbiorze grupa grupa ilorazowa
Przypisy
Bibliografia A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005. Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, .
Linki zewnętrzne [dostęp 2026-03-27]. Centralizer , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-06]. [dostęp 2026-03-27]. Normalizer of a subset , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-06].
Kategoria:Podgrupy