Centralizator (centrum), normalizator – specjalne podgrupy danej grupy mające szerokie zastosowaniu w jej badaniu.
Centralizator Niech Centralizatorem elementu nazywamy podgrupę
Centralizator elementu zawiera więc wszystkie elementy przemienne z danym.
Powyższą konstrukcję można uogólnić do dowolnego podzbioru niekoniecznie będącego podgrupą.
Centralizatorem zbioru nazywamy grupę
Grupa ta jest przemienna z każdym z elementów zbioru
Centrum Centrum grupy – szczególny przypadek centralizatora:
Centrum jest więc podgrupą elementów, które są przemienne z każdym elementem grupy mamy zatem
O centralizatorze elementu można myśleć jako o największej (w sensie inkluzji) podgrupie zawierającej w swoim centrum
Indeks grupy względem centrum można interpretować jako wskaźnik abelowości grupy – im mniejsza to liczba, tym więcej elementów w grupie jest ze sobą przemiennych i odwrotnie.
W ten sam sposób definiujemy centrum pierścienia,
Twierdzenie Schura Jeśli to
Dowód twierdzenia Schura Czytelnik znajdzie w.
Normalizator Dopełnieniem konceptu centralizatora jest tzw. normalizator zbioru
Normalizatorem w jest podgrupa
Normalizator swoją nazwę zawdzięcza faktowi, że jeśli to jest największą podgrupą mającą jako swoją podgrupę normalną.