Twierdzenie Heinego-Borela – twierdzenie matematycznej analizy rzeczywistej, charakteryzujące zbiory zwarte w przestrzeni euklidesowej, za pomocą wykorzystywanych w ramach tej dziedziny pojęć zbioru domkniętego i zbioru ograniczonego.
Twierdzenie to najprawdopodobniej udowodnił wcześniej Dirichlet, przypisywane jest jednak Eduardowi Heinemu (1821–1881) i Émilowi Borelowi (1871–1956).
Teza Podzbiór przestrzeni euklidesowej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarazem zbiorem domkniętym i ograniczonym.
Historia
Historia twierdzenia nazywanego współcześnie twierdzeniem Heinego-Borela zaczyna się w XIX wieku, wraz z poszukiwaniami solidnych fundamentów matematycznych dla rozwijanej wówczas analizy rzeczywistej. Centralnym punktem wyjścia tej teorii było pojęcie jednostajnej ciągłości, a także twierdzenie orzekające, że każda funkcja ciągła, określona na przedziale domkniętym i ograniczonym, jest jednostajnie ciągła. Rezultat ten został później także uogólniony z przedziałów domkniętych i ograniczonych, na dowolne zbiory domknięte i ograniczone; i znany jest on współcześnie jako twierdzenie Heinego-Cantora.
Niemiecki matematyk Dirichlet był pierwszym, który przedstawił dowód dla twierdzenia wyjściowego dla późniejszego twierdzenia Heinego-Cantora (Dirichlet wykazał jednostajną ciągłość dla funkcji ciągłych, ale określonych nie na zbiorze zwartym, a na przedziale domkniętym i ograniczonym) — opierał się on na fakcie istnienia skończonego podpokrycia, dla danego pokrycia otwartego (tj. pokrycia przy użyciu zbiorów otwartych), rozważanego dla przedziału domkniętego. Dirichlet nie opublikował tego rezultatu w osobnej pracy; przedstawiał on go jednak na prowadzonych przez siebie w roku 1852 wykładach, których treści zostały później upublicznione w roku 1904 (za sprawą Gustava Arendta). Później także Eduard Heine, Karl Weiestrass oraz Salvatore Pincherle zaczęli posługiwać się podobnymi technikami, w ramach prowadzonych przez siebie badań.
Émile Borel był pierwszym matematykiem, który sformułował treść wyniku znanego obecnie jako twierdzenie Heinego-Borela, a także pierwszym, który podał dla niego dowód (z tą różnicą, że jego rezultat ograniczał się do przeliczalnych pokryć zbiorami otwartymi) — uczynił to w roku 1895. Twierdzenie to zostało rozszerzone do dowolnych pokryć zbiorami otwartymi w późniejszym czasie, przez Pierre'a Cousina (1895) oraz Schoenfliesa (1900).
Linki zewnętrzne [dostęp 2022-10-09].
Uwagi
Przypisy
Heinego-Borela