Twierdzenie Heinego-Borela – twierdzenie matematycznej analizy rzeczywistej, charakteryzujące zbiory zwarte w przestrzeni euklidesowej, za pomocą wykorzystywanych w ramach tej dziedziny pojęć zbioru domkniętego i zbioru ograniczonego.
Twierdzenie to najprawdopodobniej udowodnił wcześniej Dirichlet, przypisywane jest jednak Eduardowi Heinemu (1821–1881) i Émilowi Borelowi (1871–1956).
Teza Podzbiór przestrzeni euklidesowej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarazem zbiorem domkniętym i ograniczonym.
Historia
Historia twierdzenia nazywanego współcześnie twierdzeniem Heinego-Borela zaczyna się w XIX wieku, wraz z poszukiwaniami solidnych fundamentów matematycznych dla rozwijanej wówczas analizy rzeczywistej. Centralnym punktem wyjścia tej teorii było pojęcie jednostajnej ciągłości, a także twierdzenie orzekające, że każda funkcja ciągła, określona na przedziale domkniętym i ograniczonym, jest jednostajnie ciągła. Rezultat ten został później także uogólniony z przedziałów domkniętych i ograniczonych, na dowolne zbiory domknięte i ograniczone;