thumb|200px|Pięciokąt foremny Pięciokąt (pięciobok) – wielokąt o pięciu bokach. Każdy pięciokąt ma pięć przekątnych. Szczególnym przypadkiem pięciokąta jest pięciokąt foremny.
Pięciokąt foremny Pięciokąt foremny, pentagon – wielokąt foremny o pięciu bokach. Pięciokąty foremne są ścianami takich wielościanów jak m.in. dwunastościan foremny i dwudziestościan ścięty.
Własności thumb|300px|Kąty w pięciokącie foremnym Pięciokąt foremny o boku długości ma następujące własności: każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę
kąt środkowy okręgu opisanego oparty na boku pięciokąta ma miarę
pole powierzchni wyraża się wzorem
promień okręgu opisanego na pięciokącie foremnym ma długość
promień okręgu wpisanego w pięciokąt foremny ma długość
przekątna ma długość
gdzie oznacza złotą liczbę wysokość ma długość
Konstruowalność Możliwość skonstruowania przy użyciu cyrkla i linijki pięciokąta foremnego wynika z twierdzenia Gaussa-Wantzela (liczba 5 jest liczbą pierwszą Fermata). Poniżej przedstawiono cztery przykładowe algorytmy; opierają się głównie na własności, że bok pięciokąta foremnego jest złotą częścią jego przekątnej.
Konstrukcja 1. thumb|120px|Konstrukcja 1 Poniższą konstrukcję przedstawił H. W. Richmond w 1893 roku. Narysuj okrąg o środku S. Narysuj średnicę AB. Narysuj promień CS prostopadły do średnicy AB. Znajdź środek D odcinka CS i narysuj odcinek AD. Narysuj dwusieczną kąta ∠ADS, punkt jej przecięcia ze średnicą AB oznacz E. Narysuj prostą prostopadłą do AB przechodzącą przez E, punkt jej przecięcia z okręgiem oznacz F. Odcinek AF jest bokiem pięciokąta wpisanego w wyjściowy okrąg.
Konstrukcja 2. thumb|120px|Konstrukcja 2 Ptolemeusz w swoim dziele AlmagestDeTemple, D.W. opisuje sposób znalezienia długości boku pięciokąta wpisanego w zadany okrąg. Narysuj okrąg o środku S. Narysuj średnicę okręgu i prostopadły do niej promień BS. Znajdź środek A jednego z promieni zawierających się w średnicy. Narysuj łuk o środku A i promieniu AB, punkt jego przecięcia ze średnicą oznacz C. Odcinek BC ma długość boku pięciokąta wpisanego w wyjściowy okrąg.
Konstrukcja 3. thumb|120px|Konstrukcja 3 Metodę Ptolemeusza można rozbudować, uzyskując algorytm znalezienia wszystkich pięciu wierzchołków na okręgu. Narysuj okrąg o środku S. Narysuj prostą przechodzącą przez S i przecinającą okrąg w punktach A i B. Narysuj promień CS prostopadły do średnicy AB. Znajdź środek odcinka BS i oznacz go D. Narysuj łuk o środku D i promieniu CD, punkty jego przecięcia z prostą AB oznacz E i F. Narysuj łuk o środku C i promieniu CE, punkty jego przecięcia z okręgiem oznacz G i H. Narysuj łuk o środku C i promieniu CF, punkty jego przecięcia z okręgiem oznacz I i J. Punkty C, G, H, I, J są wierzchołkami pięciokąta foremnego.
Konstrukcja 4. thumb|120px|Konstrukcja 4 W poniższej konstrukcji wykorzystano okrąg Carlyle’a. Narysuj okrąg o środku O. Przez punkt O poprowadź prostą k, punkty jej przecięcia z okręgiem oznacz Q i P. Narysuj promień OA prostopadły do średnicy QP. Znajdź środek M promienia OQ. Narysuj okrąg o środku M przechodzący przez A; punkty jego przecięcia z prostą k oznacz V i W. Zakreśl łuk o środku W i promieniu OP, punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz P1 i P4. Zakreśl łuk o środku V i promieniu OP, punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz P2 i P3. Punkty P, P1, P2, P3, P4 są wierzchołkami pięciokąta foremnego.
Zobacz też
kopuła geodezyjna kwadrat pentagram sześciokąt foremny trójkąt równoboczny złoty podział
Przypisy
Linki zewnętrzne
Kategoria:Wielokąty według liczby boków