Klasa – wielość obiektów, która może być określona przez własność posiadaną przez wszystkie jej elementy. Pojęcie klasy jest uogólnieniem pojęcia zbioru.

Wiele obiektów w matematyce jest „za dużych”, aby badać je przy użyciu zbiorów i muszą być opisywane przy użyciu klas. W literaturze istnieje kilka sposobów formalizacji pojęcia klasy.

Przykłady Przykłady klas: klasa wszystkich zbiorów – rozważanie zbiorów wszystkich zbiorów prowadzi do antynomii (paradoks zbioru wszystkich zbiorów), dlatego wszystkie zbiory tworzą klasę właściwą klasa wszystkich liczb porządkowych – rozważanie zbioru wszystkich liczb porządkowych prowadzi do antynomii (paradoks Buralego-Fortiego), dlatego liczby porządkowe tworzą klasę właściwą klasa wszystkich liczb nadrzeczywistych – jest to nadklasa klasy wszystkich liczb porządkowych klasy obiektów dużych kategorii, np. Top – kategorii wszystkich przestrzeni topologicznych uniwersum konstruowalne

Klasy jako formuły Klasy można traktować jako nieformalne obiekty wyznaczone przez formuły języka teorii mnogości. Podejście takie jest przyjmowane, na przykład, w monografii Thomasa JechaThomas Jech: Set theory. The third millennium edition. „Springer Monographs in Mathematics”. Springer-Verlag, Berlin, 2003. .. W książce tej, dla formuły o zmiennych wolnych zawartych wśród oraz parametrów wprowadza się klasę definiowaną przez z parametrów jako Tak więc dla klasy zdefiniowanej przez z parametrów mamy wtedy i tylko wtedy, gdy

Klasy zdefiniowane przez (odpowiednio) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy, czyli gdy

Przy tym podejściu, wprawdzie wykonujemy różne operacje na klasach czy też rozważamy różne relacje między nimi, klasy są tożsame z formułami je definiującymi. Każde użycie klasy może być zastąpione przez odwołanie do formuły ją definiującej.

Teoria klas Morse’a-Kelleya John L. KelleyJohn Kelley: General topology. 1976 (1955). . zaproponował podejście sformalizowane trochę inaczej przez Anthony Morse’aAnthony Morse: A Theory of Sets. Academic Press, New York 1965. i rozważane też przez Johna von Neumanna, a znane dzisiaj jako teoria klas Morse’a-Kelleya (lub system Morse’a-Kelleya). Jest to teoria w języku obiekty nazywane są klasami, a klasy które są elementami innych klas nazywane są też zbiorami (tak więc „ jest zbiorem” jest formułą ). Klasy które nie są zbiorami nazywane są klasami właściwymi.

W literaturze przedmiotu spotyka się kilka zestawów aksjomatów nazywanych aksjomatami teorii klas Morse’a-Kelleya. Różnice między rozważanymi aksjomatykami mogą być bardzo istotne, a odpowiadające im teorie mogą być różne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC): Aksjomat ekstensjonalności (klasy mające te same elementy są równe). Dla każdej formuły języka wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona ze zbiorów, które spełniają tę formułę:

Aksjomat pary (dla każdych zbiorów istnieje zbiór którego jedynymi elementami są i ). Klasa C jest klasą właściwą wtedy – i tylko wtedy – gdy istnieje bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów. Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru A, klasa wszystkich podzbiorów zbioru jest zbiorem. Aksjomat sumy: suma zbioru zbiorów jest zbiorem. Aksjomat nieskończoności:

Aksjomat regularności:

Teoria ta istotnie rozszerza teorię ZFC.

Wojciech Guzicki i Paweł Zbierski opierają swój wykład teorii mnogościWojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978. na zbliżonej aksjomatyce.

Teoria klas NBG Aksjomatyzacja teorii mnogości zaproponowana przez von Neumanna, rozwinięta przez Paula Bernaysa, a następnie uproszczona przez Kurta Gödla znana jest dzisiaj jako aksjomatyka NBG. Występują w niej dwa rodzaje obiektów (klasy i zbiory) i relacja należenia

jest określona tylko wtedy, gdy jest zbiorem. W literaturze istnieje kilka różnych aksjomatyk określanych jako aksjomaty teorii klas von Neumanna-Bernaysa-Gödla. Różnice między nimi mogą być bardzo istotne a odpowiadające im teorie mogą być różne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC): Aksjomaty extensjonalności (klasy mające te same elementy są równe; zbiory mające te same elementy są równe). Dla każdej formuły w której nie ma kwantyfikowania po klasach, wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona z tych zbiorów, które spełniają tę formułę. Aksjomat pary (dla każdych zbiorów istnieje zbiór którego jedynymi elementami są i ). Dla każdej klasy C, istnieje zbiór taki że wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadna bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów. Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru istnieje zbiór złożony z wszystkich podzbiorów Aksjomat sumy: dla każdego zbioru istnieje zbiór złożony ze wszystkich elementów zbioru Aksjomat nieskończoności: istnieje zbiór induktywny, tzn. zbiór taki że

Aksjomat regularności: w każdej niepustej klasie C można znaleźć element rozłączny z tą klasą.

Teoria NBG jest konserwatywnym rozszerzeniem ZFC (tzn. zdania w języku ZFC są dowodliwe w ZFC wtedy i tylko wtedy, gdy są one dowodliwe w NBG).

Przypisy

Linki zewnętrzne

[dostęp 2024-03-07]. Class , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

Kategoria:Teoria mnogości