Zbiór pusty – zbiór niezawierający żadnych elementów; zazwyczaj oznaczany symbolami rzadziej (niegdyś również: 0 lub Λ). Zbiór, który nie jest pusty, tj. taki, który zawiera choćby jeden element, nazywany jest zbiorem niepustym.
W teorii mnogości Zermela-Fraenkla istnienie zbioru pustego jest zagwarantowane przez aksjomat zbioru pustego, a jego jedyność wynika z aksjomatu ekstensjonalności.
Własności Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru:
bo zgodnie z definicją zachodzi
Prawdziwość powyższej implikacji wynika z reguły z fałszu wynika wszystko. Suma dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równa zbiorowi A:
Iloczyn dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu:
Iloczyn kartezjański dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu:
Jedynym podzbiorem zbioru pustego jest zbiór pusty:
Oznacza to, że zbiór potęgowy zbioru pustego zawiera tylko jeden element, czyli zbiór pusty. Moc zbioru pustego wynosi 0:
Dla dowolnego zbioru A zbiór pusty jest relacją w A zwaną relacją pustą. Dla dowolnego zbioru A można określić funkcję zwaną funkcją pustą. Jeżeli jest dowolną funkcją zdaniową, to prawdą jest, że:
Ponadto dla dowolnej funkcji zdaniowej i zbioru A, na którym jest ona określona, zachodzi warunek:
etc.
Zobacz też zbiór jednoelementowy
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Teoria mnogości