Zbiór Cantora – podzbiór prostej rzeczywistej opisany w 1883Cantor, Georg: De la puissance des ensembles parfait de points, „Acta Mathematica” 4 (1884), s. 381–392. przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiór ten odkrył w 1875 Henry John Stephen SmithZa: Stewart, Ian: Does God Play Dice?: The Mathematics of Chaos, Blackwell_Publishers, Cambridge MA, 1995. , s. 121..
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora (kostką Cantora wagi ).
Definicje Podstawowa konstrukcja Klasyczny zbiór Cantora (zwany także trójkowym zbiorem Cantora) to podzbiór przedziału domkniętego liczb rzeczywistych wyznaczony przez następującą konstrukcję. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych takich że zbiór jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych.
W kroku bazowym deklarujemy, że zbiór to odcinek
(oczywiście, zbiór ten spełnia warunek ). Krok indukcyjny konstrukcji jest opisany w sposób następujący.
Przypuśćmy, że wyznaczyliśmy już zbiór tak, że jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych (tzn. spełnia ). Każdy z odcinków tworzących ten zbiór dzieli się na 3 rozłączne odcinki równej długości z których środkowy odcinek jest otwarty, a odcinki skrajne są domknięte. Wyrzucamy ze zbioru wszystkie środkowe odcinki otwarte kładąc (gdzie to „środkowe” odcinki z podziałów wykonanych przed chwilą). Można sprawdzić, że zbiór jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych (czyli warunek jest spełniony).
Po zakończeniu procesu indukcyjnego, gdy ciąg jest wyznaczony, definiujemy trójkowy zbiór Cantora jako część wspólną tego ciągu:
mały|center|800px|Zbiory C0, C1, C2, C3, C4, C5 i C6
Alternatywna definicja Trójkowy zbiór Cantora definiuje się także jako zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mających postać:
gdzie Tak więc jest to zbiór tych liczb rzeczywistych z przedziału dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera).
Modyfikacje konstrukcji mały|250px|Odpowiednik zbioru Cantora w 3 wymiarach (kostka Cantora dla - 5 stopni rekurencji) o wymiarze fraktalnym
W klasycznej konstrukcji zbioru Cantora (opisanej powyżej) wybiera się zbiory tak że każdy z nich jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych długości Możemy zmodyfikować tę konstrukcję tak, że wybierając zbiory wyrzucamy środkowe części odcinków składających się na ale długość wyrzuconych odcinków może być różna od 1/3 długości odcinków dzielonych.
Jedna z konstrukcji tego typu prowadzi do zbioru Smitha-Volterra-Cantora. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych tak, że każdy zbiór jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych. Proces indukcyjny zaczyna się od określenia
Następnie, przypuśćmy, że zbiór jest już wyznaczony i jest on sumą rozłącznych odcinków domkniętych, W centrum każdego z odcinków wybieramy otwarty pododcinek długości Kładziemy
Zbiór Smitha-Volterra-Cantora jest zdefiniowany jako
mały|center|800px|Zbiory D0, D1, D2, D3, D4, D5
Własności Trójkowy zbiór Cantora ma moc continuum jest zwartym zbiorem doskonałym (tzn. nie ma punktów izolowanych), jest nigdziegęstym podzbiorem odcinka jest zbiorem miary zero (w sensie Lebesgue’a), jako podprzestrzeń prostej ma bazę złożoną ze zbiorów domknięto-otwartych i takich, że W szczególności jest on przestrzenią zerowymiarową. Jest on homeomorficzny z produktem przeliczalnie wielu kopii przestrzeni dyskretnych
Wymiar fraktalny klasycznego zbioru Cantora wynosi
Nie wszystkie zbiory Cantora mają miarę Lebesgue’a zero – poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora, którego miara jest dowolną liczbą z przedziału Na przykład opisany wcześniej zbiór Smitha-Volterra-Cantora ma miarę 1/2 (i jest nigdziegęsty).
Konsekwencją istnienia nieprzeliczalnych zbiorów miary zero oraz tego, że miara Lebesgue’a jest zupełna jest fakt, iż σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a jest mocy
Brouwer udowodnił, że zbiór Cantora jest jedyną z dokładnością do homeomorfizmu przestrzenią topologiczną, która jest doskonała, niepusta, zwarta, metryzowalna i zerowymiarowa.
Zbiór Cantora w szerszym sensie Topologicznie zbiór Cantora to każda przestrzeń zwarta, metryzowalna, której składowe spójności składają się z jednego punktu i której każdy punkt jest punktem skupienia. Ważne jest twierdzenie, które mówi, że przestrzeń jest zwarta i metryzowalna wtedy i tylko wtedy, kiedy jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.
Zobacz też dywan Sierpińskiego funkcja Cantora kostka Cantora kostka Mengera
Przypisy
Linki zewnętrzne
[dostęp 2026-01-20]. Cantor set , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Kategoria:Przykłady przestrzeni topologicznych Kategoria:L-systemy Kategoria:Liczby rzeczywiste