Granica Banacha – liniowy i ciągły funkcjonał na przestrzeni wszystkich ograniczonych ciągów liczbowych z normą supremum, naśladujący własności operacji brania granicy ciągu zbieżnego. W szczególności, granica Banacha ciągu zbieżnego jest równa jego granicy w zwykłym sensie. Dla dowodu istnienia granic Banacha potrzebne jest twierdzenie Hahna-Banacha (a więc pewna forma aksjomatu wyboru), stąd charakter tego pojęcia jest wyłącznie egzystencjonalny – granicy Banacha nie można skonstruować krok po kroku. Użycie w dowodzie istnienia granicy Banacha twierdzenia Hahna-Banacha nie mówi nic o jednoznaczności istnienia funkcjonału o takich własnościach. Co więcej, każdemu ultrafiltrowi wolnemu w algebrze potęgowej odpowiada dokładnie jedna granica Banacha.
Twierdzenie Istnieje ograniczony funkcjonał liniowy
mający następujące własności: Jeśli oraz to Jeśli to gdzie dla
Funkcjonał taki, jak wyżej nazywamy granicą Banacha.
Własności Niech będzie granicą Banacha oraz Wówczas: Jeśli dla to (co oznacza, że dla każdego ciągu zbieżnego ) dla ponieważ skąd ale
czyli Granica Banacha nie jest funkcjonałem multyplikatywnym, tzn. istnieją takie ciągi ograniczone i że
Istotnie, gdyby granica Banacha była funkcjonałem multyplikatywnym, to biorąc dostalibyśmy
co stanowi sprzeczność.
Bibliografia
Kategoria:Analiza funkcjonalna B