Czterowektor – wektor o czterech współrzędnych należący do czasoprzestrzeni, która jest przestrzenią 4-wymiarową (dokładniej przestrzenią wektorową pseudoeuklidesową).

Archetypem wszystkich 4-wektorów jest 4-wektor położenia. Na jego podstawie definiuje się wszystkie inne 4-wektory.

Definicja 4-wektora kontrawariantnego Nie każdy zespół 4 liczb można nazwać 4-wektorem. Aby tak było, musi być spełniony istotny warunek: 4 liczby otrzymane z pomiarów wykonanych przez różnych obserwatorów oraz mierzących daną wielkość fizyczną na tym samym obiekcie i w tej samej sytuacji fizycznej (np. pomiar energii-pędu tej samej cząstki, która mija tę samą bramkę) muszą być ze sobą ściśle związane. W szczególności, jeżeli obserwator porusza się względem obserwatora z prędkością w kierunku osi to związki te zadane są przez transformację Lorentza:

gdzie: – wyniki pomiarów obserwatora – wyniki pomiarów obserwatora

– prędkość światła (zgodnie ze Szczególną Teorią Względności Einsteina identyczna dla każdego obserwatora).

Liczbę nazywa się współrzędną czasową.

Liczby nazywa się współrzędnymi przestrzennymi.

Czterowektor zapisany z górnymi indeksami nazywa się 4-wektorem kontrawariantnym.

Czterowektor kontrawariantny zapisuje się w skróconej formie w postaci

gdzie – wektor o współrzędnych przestrzennych.

Definicja 4-wektora kowariantnego Ponadto definiuje się czterowektor z dolnymi indeksami – nazywa się je 4-wektorami kowariantnymi.

Wektory kowariantne w płaskiej czasoprzestrzeni (opisanej tensorem Minkowskiego – patrz niżej) różnią się od kontrawariantnych znakiem współrzędnych przestrzennych, tj. – wektor kowariantny

oraz

Czterowektor kowariantny zapisuje się w skróconej formie w postaci

gdzie – wektor (kontrawariantny) o współrzędnych przestrzennych.

Uwaga: Ogólna transformacja Lorentza może być reprezentowana za pomocą macierzy 4x4 Λ. Wtedy działanie transformacji Lorentza na 4-wektor kontawariantny A, reprezentowany w postaci wektora kolumnowego, jest dana za pomocą mnożenia macierzy przez wektor.

4-wektory w postaci kowariantnej przedstawia się wtedy w postaci wierszowej; takie wektory transformują się za pomocą mnożenia przez macierz transponowaną względem macierzy odwrotnej do macierzy Lorentza Λ.

Zasada opuszczania wskaźników 4-wektora Aby otrzymać współrzędne kowariantne 4-wektora, należy pomnożyć współrzędne kontrawariantne przez tensor metryczny. Dla czasoprzestrzeni w ogólności zakrzywionej (rozważanej np. w Ogólnej Teorii Względności), związek między współrzędnymi kowariantymi i kontrawariantnymi dany jest za pomocą tensora metrycznego

przy czym sumuje się po powtarzającym się wskaźniku, przyjmując

W płaskiej czasoprzestrzeni tensor metryczny jest diagonalny (tzw. tensor Minkowskiego) i ma postać (oznaczaną tu symbolem )

Dlatego opuszczanie wskaźnika sprowadza się tu do zmiany znaku przy współrzędnej przestrzennej kontrawariantnej.

Zasada podnoszenia wskaźników 4-wektora Aby otrzymać współrzędne kontrawariantne 4-wektora, mając współrzędne kowariantne, należy te ostatnie pomnożyć przez tensor metryczny. Dla czasoprzestrzeni w ogólności zakrzywionej związek między współrzędnymi kowariantymi i kontrawariantnymi dany jest za pomocą postaci kontrawariantnej tensora metrycznego

przy czym sumuje się po powtarzającym się wskaźniku, przyjmując

W płaskiej czasoprzestrzeni tensor metryczny kontrawariantny jest diagonalny (tzw. tensor Minkowskiego) i ma postać identyczną jak tensor kowariantny (oznaczaną tu symbolem ), czyli

Podnoszenie wskaźnika sprowadza się więc do zmiany znaku przy współrzędnych przestrzennych kowariantnych

Długość 4-wektora Czterowektory są obiektami geometrycznymi. Z tej racji np. ich długość obliczona w różnych układach odniesienia musi dać tę samą wartość. Kwadrat długości 4-wektora wyrażają 3 równoważne wzory:

lub

przy czym sumuje się po powtarzających się wskaźnikach, przyjmując

Pierwszy wzór zapisany bez konwencji sumacyjnej Einsteina ma 4 składowe, a ostatnie dwa zawierają w ogólności po 16 składowych.

W płaskiej czasoprzestrzeni powyższe wzory na kwadrat długości 4-wektora sprowadzają się do postaci

lub

Z ostatniego wzoru widać, iż długość 4-wektora w czasoprzestrzeni nie wyraża się przez uogólniony wzór na długość wektora znany z geometrii Euklidesowej (w którym mielibyśmy sumę kwadratów współrzędnych); czasoprzestrzeń jest bowiem przestrzenią pseudoeuklidesową. W szczególności długości 4-wektorów mogą mieć wartości mniejsze od zera.

Klasyfikacja 4-wektorów. Ze względu na długość 4-wektory dzieli się na: czasowe – gdy zerowe – gdy przestrzenne – gdy

Powyższe własności 4-wektorów są niezależne od układu odniesienia, gdyż: dokonując transformacji Lorentza danego 4-wektora do innego układu, otrzyma się inne współrzędne, ale jego długość nie zmieni się. Mówi się, że powyższe własności długości 4-wektorów są Lorentzowsko niezmiennicze. Np. 4-wektor czasowy w jednym układzie będzie wektorem czasowym w każdym układzie odniesienia.

Iloczyn skalarny czterowektorów Iloczyn skalarny 4-wektorów definiuje się następująco:

lub

Tak zdefiniowany Iloczyn skalarny jest niezmiennikiem przekształceń Lorentza. Gdy to powyższe wzory sprowadzają się do wzorów na długość 4-wektora, podane wyżej.

Kolejność czasowa zdarzeń. Związki przyczynowo-skutkowe Niezmienniczość podziału 4-wektorów na czasowe, zerowe i przestrzenne prowadzi do wniosków:

(1) Tylko wtedy, gdy dwa zdarzenia są oddzielone czasowym lub zerowym interwałem czasoprzestrzennym, to można o jednym z nich powiedzieć, iż jest wcześniejsze niż drugie; i to zdarzenie wcześniejsze może (ale nie musi) mieć wpływ na zdarzenie późniejsze

Uwaga: Zdarzenie wcześniejsze wywrze wpływ na zdarzenie późniejsze, gdy podczas zajścia zdarzenia wcześniejszego nastąpi emisja pola fizycznego, które poruszając się z prędkością światła dotrze do zdarzenia późniejszego i ponadto wywrze na nie wpływ.

(2) Zdarzenia oddzielone interwałem przestrzennym nie mogą mieć wpływu na siebie, gdyż żadne oddziaływanie, nawet poruszające się z prędkością światła, nie jest w stanie dotrzeć od jednego ze zdarzeń do drugiego; takim zdarzeniom nie można przypisać też absolutnej kolejności czasowej.

Czterowektor położenia w czasoprzestrzeni Definicja 4-wektora położenia Czterowektorem położenia w czasoprzestrzeni nazywamy 4-wektor o postaciach: postać kontrawariantna (o górnych wskaźnikach)

postać kowariantna (o dolnych wskaźnikach)

Współrzędna – tzw. współrzędna czasowa, – tzw. współrzędne przestrzenne.

Uwaga:

Współrzędna czasowa 4-wektora położenia ma wymiar długości, podobnie jak pozostałych współrzędnych czterowektora (jest równa czasowi wyrażonemu w sekundach x prędkość światła w próżni, czyli jej wymiarem jest metr).

Sens fizyczny 4-wektora położenia Czterowektor położenia opisuje czas oraz położenie przestrzenne zajścia jakiegoś zdarzenia w czasoprzestrzeni, przy czym przez zdarzenie rozumie się jakieś krótkotrwałe zjawisko, np. fakt mijania słupka przez cząstkę – zjawisko to zachodzi w chwili w położeniu co obserwator opisuje za pomocą czterowektora

Własności transformacyjne 4-wektora położenia Temu samemu zdarzeniu inny obserwator przypisze własny czterowektor zawierający wyniki pomiaru czasu i położenia dokonane względem jego układu odniesienia i za pomocą jego własnego zegara. Zespoły liczb otrzymane przez różnych obserwatorów będą na ogół różnić się – jeżeli np. obserwatorzy są w ruchu względem siebie. Jednak wykonując pomiary wielu zdarzeń i porównując je ze sobą, obserwatorzy stwierdzą, że zachodzą między ich wynikami ścisłe zależności. W najprostszym przypadku, gdy obserwator porusza się względem obserwatora z prędkością w kierunku osi – przy czym oznacza tu współrzędną wektora prędkości – to związki te zadane są przez tzw. transformację Lorentza:

Zapisując współrzędne w postaci transformacje Lorentza mają bardziej symetryczną postać

Aby otrzymać transformację odwrotną, wystarczy do powyższej transformacji podstawić zamiast symbol i zamienić symbole primowane z nieprimowanymi:

Uwaga: Współrzędne każdego innego 4-wektora poddane transformacji Lorentza muszą dać współrzędne tego 4-wektora w nowym układzie. Nie każdy zespół 4 liczb będzie więc 4-wektorem.

Interwał czasoprzestrzenny zdarzeń Definicja Df. Interwałem czasoprzestrzennym zdarzeń nazywa się długość różnicy dwóch czterowektorów, opisujących dwa zdarzenia w czasoprzestrzeni.

Interwał jest analogiem odległości w zwykłej przestrzeni.

Niezmienniczość interwału Tw. Interwał jest niezmiennikiem transformacji Lorentza.

Dowód:

(1) Rozważmy dwa zdarzenia oraz zachodzące w czasoprzestrzeni, np. – cząstka mija bramkę, – następuje eksplozja supernowej. Obserwator przypisze tym zdarzeniom czterowektory położeń

Różnica czterowektorów jest czterowektorem którego długość, czyli interwał w płaskiej czasoprzestrzeni wynosi

(2) Obserwator przypisze tym zdarzeniom czterowektory położeń

Obliczając interwał w płaskiej czasoprzestrzeni, otrzyma

(3) Ponieważ współrzędne związane są ze współrzędnymi za pomocą transformacji Lorentza – i podobnie dla zdarzenia to podstawiając do ostatniego wzoru te zależności i wykonując proste przekształcenia, otrzyma się wyrażenie identyczne jak dla tj.

Oznacza to, że interwały obliczone dla dowolnych dwóch zdarzeń nie zależą od obserwatora. Mówimy, ze interwały są niezmiennikami transformacji Lorentza.

Niezmienniczość interwału stanowi o własnościach geometrycznych czasoprzestrzeni.

Interwał dla światła Interwał obliczony dla światła jest zerowy w tym sensie, że:

Jeżeli zdarzenie polega na emisji światła z danego źródła, a zdarzenie polega na odbierze tego światła przez jakiś detektor, to

gdyż lewa strona równości przedstawia kwadrat drogi przebytej przez światło, a prawa strona przedstawia kwadrat odległości przestrzennej dzielącej źródło i detektor. Przenosząc wyrażenie z prawej strony na lewą, otrzyma się wyrażenie na interwał czasoprzestrzenny. Oznacza to, że interwał dla światła jest zerowy – i własność ta jest taka sama dla dowolnego obserwatora.

Uwaga:

Niezmienność interwału wynika de facto z postulatu niezmienniczości prędkości światła względem wszystkich obserwatorów, na którym Einstein w 1905 r. oparł Szczególną Teorię Względności. Transformacja Lorentza, którą w tym artykule zakłada się, jest tego konsekwencją.

Różniczka interwału czasoprzestrzennego zdarzeń (1) Df. Różniczką interwału czasoprzestrzennego nazywa się interwał obliczony dla dwóch zdarzeń leżących w infinitezymalnej odległości czasoprzestrzennej.

(2) Np. jeżeli mamy dwa zdarzenia opisane 4-wektorami

to różniczkowy 4-wektor dzielący te zdarzenia wynosi

Jego długość oblicza się z ogólnego wzoru na długość 4-wektora, tj.

Jeżeli współrzędne zdarzenia oznaczymy symbolami a przyrosty tych współrzędnych oznaczymy symbolami

to różniczka wyrazi się w zwartej formie wzorem

gdzie – tensor metryczny Minkowskiego w punkcie

(3) W dowolnie zakrzywionej czasoprzestrzeni różniczka interwału wyrazi się wzorem

gdzie – tensor metryczny w punkcie

Czterowektor prędkości Definicja Czterowektorem prędkości nazywamy pochodną czterowektora położenia cząstki względem interwału czasoprzestrzennego:

gdzie: – różniczka interwału czasoprzestrzennego dzielącego dwa bliskie zdarzenia leżące na linii świata cząstki, dla której definiuje się 4-wektor prędkości, – czterowektor infinitezymalnego przemieszczenia cząstki w czasoprzestrzeni.

Przy czym zachodzi związek:

Aby pokazać, jaki jest sens fizyczny tak przyjętej definicji 4-wektora prędkości należy najpierw zauważyć, że:

Tw. 1: gdzie – infinitezymalny upływ czasu własnego, przy czym – tzw. czas własny cząstki, czyli czas mierzony w układzie, w którym cząstka (przynajmniej chwilowo) jest w spoczynku. Powyższy wzór oznacza, że: