Twierdzenie Wilsona – twierdzenie w teorii liczb. Orzeka ono, żeProf. dr hab. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, , s. 295 (twierdzenie Wilsona).Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, s. 35.:
liczba naturalna jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jest podzielna przez .
Twierdzenie to daje potencjalną możliwość sprawdzenia dla każdej liczby naturalnej, czy jest pierwsza. Ponieważ nie są znane efektywne algorytmy obliczania silni, twierdzenia tego nie da się łatwo stosować w badaniu pierwszości liczb.
Historia
Własność opisywana w niniejszym twierdzeniu, wykazująca zaskakującą zgodność w poprawności dla wszystkich sprawdzonych (na tamten moment) liczb pierwszych , została odkryta przez Johna Wilsona (1741–1793), który był w tamtym czasie studentem Edwarda Waringa (1736–1798). Żaden jednak z nich dwóch, nie był w stanie przedstawić pełnego formalnego dowodu tego twierdzenia, tzn. pokazać, że równoważność występująca w sformułowaniu twierdzenia, zachodzi dla dokładnie wszystkich pierwszych . Opublikowali oni wówczas (w roku 1770) swoje odkrycie; ponownie, nie przedstawiając jednakże dowodu dla tego twierdzenia. Oficjalnie, pierwszy w pełni poprawny dowód twierdzenia Wilsona, przedstawił rok później (w 1771), Joseph Louis Lagrange (1736–1813).
Istnieją także dowody historyczne pozwalające myśleć, że prawdziwości niniejszego twierdzenia spodziewał się już Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), który wspomniał jego treść w jednej ze swoich nieopublikowanych prac. Jednakże, Leibniz także – w żadnej z należących do niego, opublikowanych bądź nie – prac, nie przedstawił dowodu świadczącego o poprawności tego twierdzenia.
Dowody Dowód 1 Dowód przeprowadzimy przez pokazanie osobno prawdziwości dwóch implikacji: najpierw implikacji „w prawo”, a następnie implikacji „w lewo”. Wspólnie, prawdziwość obu tych implikacji będzie stanowiła o prawdziwości równoważności, takiej jak podana w sformułowaniu twierdzenia, powyżej. Tym samym, w sposób łączny, dowód każdej z tych implikacji zakończy dowód całego twierdzenia.
Najpierw załóżmy, że jest liczbą pierwszą. Pokażemy, że wtedy liczba jest podzielna przez .
Łatwo sprawdzić prostym rachunkiem, że twierdzenie – istotnie – zachodzi dla oraz . Załóżmy więc od tego miejsca dodatkowo, że . Klasy liczb całkowitych mod tworzą ciało . Rozpatrzmy w tym ciele, następujące równanie: .
Naturalnie, powyższe równanie ma te same rozwiązania, co równanie: ; czyli (równoważnie) ma ono także te same rozwiązania, co równanie (rozkładając wielomian na czynniki liniowe): .
W ciele iloczyn niezerowych czynników jest niezerowy. Więc jedynymi rozwiązaniami powyższego równania są oraz (w ciele , dla różnego od 2, zachodzi nierówność ). Wynika stąd, że jedynymi elementami ciała , które są odwrotne w stosunku do siebie, są elementy oraz , stanowiące pojedynczą parę . Zatem, zbiór pozostałych niezerowych elementów ciała rozpada się na rozłączne pary elementów o iloczynie , gdzie .
Stąd wnioskujemy, iż iloczyn wszystkich, poza oraz , niezerowych elementów ciała, jako iloczyn iloczynów takich par, wynosi . To zaś oznacza w szczególności, że: .
Po przemnożeniu powyższej kongruencji przez czynnik , czyli właściwie po prostu przez czynnik (ponieważ ), oraz po dopisaniu nieszkodliwego czynnika do ciągu mnożeń po lewej stronie, otrzymujemy: ,
czyli liczba jest podzielna przez . □
Wykażemy teraz twierdzenie przeciwne (tzn. pokażemy dla każdego , że jeśli , to wtedy jest pierwsze).
W tym celu przypuśćmy (nie wprost), że jest złożoną liczbą naturalną. Wtedy istnieją takie dzielniki właściwe oraz liczby , że . Wtedy: .
Zatem, możemy zapisać także:
i otrzymać stąd (podstawiając po prostu , powyżej): ,
więc: .
Tak więc też: ,
co natychmiastowo daje nam: ; a to z kolei oznacza po prostu, że: liczba nie jest podzielna przez . □
Pokazaliśmy zatem łącznie obie strony równoważności podanej w treści twierdzenia. To kończy pełen dowód tego twierdzenia. ∎
Dowód 2 (z użyciem teorii grup)
Niech oznacza (dowolną) liczbę pierwszą. Rozważmy zbiór wszystkich porządków liniowych, jakie można zadać na zbiorze ; przy czym jednocześnie ustalmy, że dwa porządki liniowe chcielibyśmy uznawać za jednakowe, jeśli są one sobie równe z dokładnością do dodawania modulo . To znaczy, dla jakichś elementów ze wspomnianego zbioru, chcielibyśmy po prostu utożsamiać porządek:
z porządkiem:
(dla każdego ), przy czym symbol w powyższym napisie oznacza dodawanie modulo .
Zauważmy, że zbiór wszystkich takich porządków liniowych, musi być dokładnie mocy . Jest tak, ponieważ każdej permutacji (wszystkich) elementów zbioru , odpowiada dokładnie jeden porządek liniowy; stąd, wszystkich porządków w zbiorze, jest tyle, co możliwych permutacji – a tych jest: .
Grupa cykliczna rzędu , oznaczana , działa na ten sam zbiór wszystkich porządków jak powyżej, w sposób cykliczny. Jesteśmy w stanie powiedzieć, że zbiór punktów stałych działania na ten zbiór, grupą , jest mocy . To dlatego, że każdy porządek przechodzący w wyniku takiego działania, na siebie samego; to dokładnie taki porządek, że:
dla pewnego . Stałych porządków jest zatem dokładnie tyle, ile możliwości wyboru wartości , ze zbioru ; takich możliwości jest .
Stąd jest już jasne, że przedstawione pozwala nam wnioskować o tym, że zachodzi: ; czyli zachodzi także i:
.
Tego należało dowieść. ∎
Uogólnienie Istnieje uogólnienie twierdzenia Wilsona, autorstwa Gaussa:
gdzie jest liczbą pierwszą większą od 2.
Dla zachodzi ,
więc równie dobrze można dodać do drugiej gałęzi wzoru.
Przypisy
Linki zewnętrzne Twierdzenie Wilsona, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 4 października 2017 [dostęp 2024-09-04]. [dostęp 2025-12-04]. Wilson theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05].
Kategoria:Twierdzenia o grupach skończonych Kategoria:Twierdzenia o pierścieniach Kategoria:Twierdzenia o liczbach pierwszych Kategoria:Twierdzenia arytmetyki modularnej