ponownie, nie przedstawiając jednakże dowodu dla tego twierdzenia. Oficjalnie, pierwszy w pełni poprawny dowód twierdzenia Wilsona, przedstawił rok później (w 1771), Joseph Louis Lagrange (1736–1813).
Istnieją także dowody historyczne pozwalające myśleć, że prawdziwości niniejszego twierdzenia spodziewał się już Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), który wspomniał jego treść w jednej ze swoich nieopublikowanych prac. Jednakże, Leibniz także – w żadnej z należących do niego, opublikowanych bądź nie – prac, nie przedstawił dowodu świadczącego o poprawności tego twierdzenia.
Dowody Dowód 1 Dowód przeprowadzimy przez pokazanie osobno prawdziwości dwóch implikacji: najpierw implikacji „w prawo”, a następnie implikacji „w lewo”. Wspólnie, prawdziwość obu tych implikacji będzie stanowiła o prawdziwości równoważności, takiej jak podana w sformułowaniu twierdzenia, powyżej. Tym samym, w sposób łączny, dowód każdej z tych implikacji zakończy dowód całego twierdzenia.
Najpierw załóżmy, że jest liczbą pierwszą. Pokażemy, że wtedy liczba jest podzielna przez .
Łatwo sprawdzić prostym rachunkiem, że twierdzenie – istotnie – zachodzi dla oraz . Załóżmy więc od tego miejsca dodatkowo, że . Klasy liczb całkowitych mod tworzą ciało .