mały|Wykres funkcji gamma Eulera w dziedzinie zespolonej. W punktach całkowitych niedodatnich ma ona nieciągłości nieusuwalne i odosobnione
Punkt nieciągłości, nieciągłość – dwuznaczne pojęcie analizy matematycznej i topologii: argument funkcji, dla którego dana funkcja nie jest ciągła; czasem wymaga się, żeby był to punkt skupienia tej dziedziny, a niekoniecznie jej element.
Wyróżnia się kilka odmian nieciągłości, a te odmiany nie zawsze są rozłączne – niektóre właściwości mogą się łączyć. Na temat nieciągłości udowodniono co najmniej kilka twierdzeń, związanych m.in. z pojęciem całki.
Rodzaje mały|Wykres funkcji sinc. Jest utworzona z funkcji która w punkcie ma nieciągłość usuwalną mały|Wykres funkcji signum, która w punkcie ma nieciągłość nieusuwalną, konkretniej skokową
Co najmniej dwa rodzaje nieciągłości są określone dla funkcji między dowolnymi przestrzeniami topologicznymi: jeśli w punkcie nieciągłości istnieje granica funkcji, to taką nieciągłość nazywa się usuwalną Szymon Charzyński, Typy nieciągłości, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube, 8 lutego 2018 [dostęp 2025-10-12].; punkt nieciągłości nazywa się odosobnionym, jeśli w pewnym sąsiedztwie tego punktu funkcja jest ciągła. Przykład funkcji z odosobnioną nieciągłością to funkcja signum (znak) – punkt nieciągłości to 0. Przykładem funkcji, dla której każdy punkt jej dziedziny jest punktem nieciągłości, jest funkcja Dirichleta.
Dla funkcji zmiennej rzeczywistej definiuje się dodatkowe rodzaje nieciągłości: nieciągłość skokowa oznacza, że funkcja ma w danym punkcie różne granice jednostronnelewostronna oraz prawostronna , właściwe (skończone) lub nie. Jeśli są skończone, to mówi się też o skoku funkcji, choć ta nazwa oznacza też różnicę między granicami jednostronnymi; nieciągłość zwyczajna lub pierwszego rodzaju – rozumiana szeroko – oznacza skończone granice jednostronneróżne od wartości funkcji w tym punkcie – inaczej byłaby w nim ciągła. Czasem wymaga się dodatkowo, by granice te były różne, co pokrywa się z jednym z podanych wyżej pojęć skoku funkcji; nieciągłość drugiego rodzaju – rozumiana szeroko – oznacza, że w danym punkcie nie istnieją skończone granice jednostronne. Czasem wymaga się, by co najmniej jedna z granic jednostronnych była nieskończona.
Twierdzenia Dla funkcji rzeczywistej zbiór nieciągłości jest przeliczalną sumą zbiorów domkniętych Discontinuity point , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-10-04].. Istnieją też wyniki o nieciągłościach funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej : Funkcja monotoniczna w przedziale ma w nim wyłącznie nieciągłości skokowe. Pochodna funkcji ma przeliczalną liczbę nieciągłości skokowych. Niech funkcja będzie ograniczona i mierzalna. Jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest miary zero.
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne [dostęp 2022-10-04]. [dostęp 2022-10-04]. [dostęp 2022-10-04]. [dostęp 2022-10-04].
Kategoria:Analiza matematyczna Kategoria:Topologia Kategoria:Relacje między argumentem funkcji a funkcją