Czynnik całkujący (metoda czynnika całkującego) – metoda pozwalająca znaleźć rozwiązania niektórych równań różniczkowych pierwszego rzędu poprzez sprowadzenie ich do równań różniczkowych zupełnych.

Niech dane będzie równanie różniczkowe

lub, w alternatywnej postaci,

gdzie funkcje i są klasy na pewnym obszarze jednospójnym i w żadnym punkcie tego obszaru nie zerują się jednocześnie. Ponadto załóżmy, że zachodzi

(warunek ten oznacza, że równanie nie jest równaniem zupełnym).

Metoda czynnika całkującego polega na znalezieniu różnej od zera funkcji takiej, że po przemnożeniu przez nią równania , stanie się ono równaniem zupełnym:

dla którego będzie zachodziło

Z powyższych wzorów wynika, że szukana funkcja musi posiadać pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.

Tak sprowadzone równanie, będące równaniem zupełnym daje się już scałkować, istnieje więc funkcja dla której jest całką (rozwiązaniem) równania , a zarazem i . Znajdywanie czynnika całkującego prowadzi do rozwiązywania równania pierwszego rzędu o pochodnych cząstkowych, z niewiadomą funkcją które w ogólności jest trudne do rozwiązania.

Niektóre przypadki postaci czynnika całkującego Czynnik całkujący zależny tylko od Przypuśćmy, że równanie ma czynnik całkujący zależny tylko od zmiennej Oznacza, to że musi on spełniać równanie

jako że Zakładając, że otrzymujemy

Aby istniał czynnik całkujący konieczne jest, by prawa strona równania była zależna tylko od zmiennej

Wtedy, rozwiązując równanie o zmiennych rozdzielonych otrzymujemy, że

gdzie jest dowolną, niezerową liczbą rzeczywistą, a to oznaczenie funkcji eksponencjalnej. Każda z tak otrzymanych funkcji jest czynnikiem całkującym, zwyczajowo więc przyjmuje się, że

Przykład Niech dane będzie równanie liniowe

Warunek jest spełniony, ponieważ w naszym przypadku i oraz

tak więc czynnikiem całkującym równania jest

Czynnik całkujący zależny tylko od Postępując analogicznie, jak w poprzednim przykładzie, czynnik całkujący równania zależny od istnieć będzie tylko wtedy, gdy oraz prawa strona równania

będzie zależna tylko od Wtedy czynnik całkujący będzie postaci

gdzie ponownie jest dowolną, niezerową liczbą rzeczywistą, a to prawa strona równania .

Czynnik całkujący zależny od Ponownie, załóżmy, że równanie ma czynnik całkujący postaci gdzie Zauważmy, że funkcja jest formalnie funkcją zmiennej Warunek przyjmuje postać

Ponieważ zakładając, że warunkiem na to, by funkcja była czynnikiem całkującym jest, aby prawa strona równania

zależała tylko od czyli od Czynnik całkujący ma wtedy postać

gdzie jak poprzednio jest prawą stroną .

Przykład Rozpatrzmy równanie

W naszym przypadku oraz

Prawa strona równania jest zależna tylko od więc czynnik całkujący będzie postaci

Przypadek ogólny Załóżmy w końcu że równanie ma czynnik całkujący postaci gdzie jest dowolną funkcją, posiadającą pochodne cząstkowe i dla której zachodzi Warunek przyjmuje ponownie postać

a warunkiem, by była czynnikiem całkującym jest, by prawa strona równania

była zależna jedynie od

Istnienie i jednoznaczność czynnika całkującego Zakładając istnienie całki ogólnej równania , przy poprzednich założeniach można wykazać, że każde równanie postaci ma czynnik całkujący.

Z postaci czynnika całkującego

wynika, że dla dowolnej, niezerowej liczby rzeczywistej jest czynnikiem całkującym. Oprócz tego, jeśli jest czynnikiem całkującym równania , to

gdzie jest całką ogólną równania a jest dowolną, niezerową funkcją mającą ciągłą pochodną, także jest czynnikiem całkującym . W istocie, pomiędzy każdymi dwoma czynnikami całkującymi równania zachodzi zależność .

Przypisy

Bibliografia

Literatura dodatkowa

Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-13].

Kategoria:Równania różniczkowe