+ Wybrane wartości silni 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 5040 8 40 320 9 362 880 10 3 628 800 11 39 916 800 12 479 001 600 13 6 227 020 800 14 87 178 291 200 15 1 307 674 368 000 16 20 922 789 888 000 17 355 687 428 096 000 18 6 402 373 705 728 000 19 121 645 100 408 832 000 20 2 432 902 008 176 640 000 25 ∼1,551 121 004 · 1025 50 ~3,041 409 32 · 1064 70 ~1,197 857 167 · 10100 100 ~9,332 621 544 · 10157 450 ~1,733 368 733 · 101000 1000 ~4,023 872 601 · 102567 10 000 ~2,846 259 681 · 1035 659 100 000 ~2,824 229 408 · 10456 573 1 000 000 ~8,263 931 688 · 105 565 708 10 000 000 ~1,202 423 401 · 1065 657 05910100 ~109,956 570 552 · 10101 Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich kolejnych dodatnich liczb naturalnych nie większych niż n. Często przyjmuje się także dodatkowo, że silnia z 0 wynosi 1, choć nie wynika to bezpośrednio z samej powyższej definicji.
Notacja Do oznaczania silni liczby (naturalnej) , powszechnie stosuje się zapis . Na przykład, dla liczb oraz , jest to odpowiednio: oraz . Zapis ten (np. dla liczb oraz ) odczytuje się w sposób (odpowiednio): „jeden silnia”, „dwa silnia” itd. (ogólnie także, dla : „en silnia”).
Definicje silni Silnia jest funkcją liczbową, której dziedziną są liczby naturalne z zerem, a przeciwdziedziną liczby naturalne bez zera
Definicja 1 Silnią liczby naturalnej dodatniej nazywa się iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż oraz dodatkowo przyjmuje się , tj.
co można zapisać równoważnie używając greckiej litery :
Definicja 2 Definicja rekurencyjna silni:
Przykłady
Obliczanie komputerowe Ze względu na szybki wzrost wartości silni w obliczeniach komputerowych może wystąpić przekroczenie zakresu liczb całkowitych. Jeśli wynik przechowywany jest w zmiennej 32-bitowej (ze znakiem lub bez), to przepełnienie nastąpi już dla Dla zmiennej 64-bitowej przepełnienie nastąpi dla n = 7 n! = 5040 n = 8 n! = 40320 n = 9 n! = 362880 n = 10 n! = 3628800 n = 11 n! = 39916800 n = 12 n! = 479001600 n = 13 int overflowProblem dokładnych obliczeń wartości silni został rozwiązany z chwilą wprowadzenia arytmetyki dowolnej precyzji, która operuje na liczbach całkowitych dowolnego rozmiaru (ograniczeniem jest tu zasadniczo jedynie dostępna pamięć RAM komputera). Podane wartości silni w tabeli powyżej dla bardzo wielkich liczb mogą zostać precyzyjnie obliczone tą właśnie metodą.
Przybliżenia wartość silni i jej logarytmu thumb|Porównanie silni, przybliżenia Stirlinga oraz przybliżenia w skali podwójnie logarytmicznej.|249x249px thumb|Błąd względny obciętego szeregu Stirlinga w zależności od liczby wyrazów.|249x249px
Gdy nie jest konieczne uzyskanie dokładnej wartości silni, to wygodne jest wykorzystanie jej przybliżeń.
(1) Przybliżenie za pomocą wzoru Stirlinga:
(2) Wyrazy szeregu w nawiasie powyższego wzoru są coraz mniejsze; dla dużych można ograniczyć się do pierwszego wyrazu
(3) Z powyższego wzoru wynika wzór na postać logarytmu naturalnego silni:
(4) Przydatne jest również oszacowanie:
gdzie to tzw. małe o, co oznacza, że dla rosnących wartości wartość jest coraz mniejsza od formalnie wyraża to wzór: . Symbol oznacza granicę ciągu liczbowego.
(5) Inne przybliżenie silni:
gdzie wykładnik spełnia nierówności
Właściwości Podstawowa własność silni
Tempo wzrostu silni thumb|Wykres logarytmu naturalnego silni ln(x!) Wzrost funkcji wraz ze wzrostem jest szybszy niż wzrost wykładniczy funkcji , ale wolniejszy niż .
Dla dużych wartości n tempo wzrostu silni jest proporcjonalne do ale odwrotnie proporcjonalne do czynnika wykładniczego .
Rozkład silni na czynniki pierwsze Lemat Jeżeli liczba rozkłada się na czynniki pierwsze takie że
to wykładnik liczby pierwszej oblicza się ze wzoru
gdzie oznacza część całkowitą liczby
Liczba zer na końcu zapisu dziesiętnego silni Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym gdzie jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru
przy czym wyznacza się z nierówności
Przykłady
(1) Dla mamy , czyli liczba ma na końcu zer. Dokładne obliczenie za pomocą arytmetyki wielkiej precyzji potwierdza to, gdyż
(2) Jeżeli to nierówności są spełnione przez w tym wypadku mamy co oznacza że silnie liczb nie mają zer na końcu; jest to zgodne z tabelą podana na początku artykułu.
Historia Oznaczenie dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.
Zastosowania Silnia pozwala zwięźle zapisać wzory i zależności z różnych działów matematyki jak: analiza matematyczna, np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać geometria -wymiarowa, np. stosunek miary -wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy kombinatoryka, np. liczba wszystkich permutacji zbioru -elementowego jest równa
Powiązane ciągi i inne funkcje mały|Wykres silni, funkcji gamma i aproksymacji Stirlinga
Faktorion
Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr danego systemu liczbowego nosi nazwę faktorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności w systemie dziesiętnym: , , i .
Funkcja gamma
link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Generalized_factorial_function_more_infos.svg|mały|Funkcja gamma (przesunięta o jedną jednostkę w lewo, aby odpowiadała silni) stanowi ciągłe uogólnienie silni na argumenty inne niż naturalne. Tu pokazano wykres funkcji gamma dla liczb rzeczywistych. Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia zależność rekurencyjną
Ponieważ , więc z powyższego wynika
dla wszystkich liczb naturalnych
Funkcja jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny. link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Gamma_abs_3D.png|mały|Wartości bezwzględne zespolonej funkcji gamma, ukazujące bieguny w nie-dodatnich liczbach całkowitych.
Silnia podwójna
Silnią podwójną liczby naturalnej określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do Silnię podwójną oznacza się
Rekurencyjna definicja silni podwójnej:
Przykład:
Własności podwójnej silni:
Zależność od funkcji gamma:
gdyż
Silnia wielokrotna
Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Analogicznie definiuje się silnię potrójną , poczwórną i ogólnie, silnię -tą, , którą oznaczamy symbolem Definiuje się ją następująco:
Czyli np.:
Przypisy
Bibliografia
Koshy T., Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.
Linki zewnętrzne
http://factorielle.free.fr
+ Wybrane wartości silni 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 5040 8 40 320 9 362 880 10 3 628 800 11 39 916 800 12 479 001 600 13 6 227 020 800 14 87 178 291 200 15 1 307 674 368 000 16 20 922 789 888 000 17 355 687 428 096 000 18 6 402 373 705 728 000 19 121 645 100 408 832 000 20 2 432 902 008 176 640 000 25 ∼1,551 121 004 · 1025 50 ~3,041 409 32 · 1064 70 ~1,197 857 167 · 10100 100 ~9,332 621 544 · 10157 450 ~1,733 368 733 · 101000 1000 ~4,023 872 601 · 102567 10 000 ~2,846 259 681 · 1035 659 100 000 ~2,824 229 408 · 10456 573 1 000 000 ~8,263 931 688 · 105 565 708 10 000 000 ~1,202 423 401 · 1065 657 05910100 ~109,956 570 552 · 10101 Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż oraz przyjmuje się dodatkowo, że silnia z 0 wynosi 1.
Stosuje się zapis itd., który odczytuje się „n silnia”, „dwa silnia” itd.
Definicje silni Silnia jest funkcją liczbową, której dziedziną są liczby naturalne z zerem, a przeciwdziedziną liczby naturalne bez zera
Definicja 1 Silnią liczby naturalnej dodatniej nazywa się iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż oraz dodatkowo przyjmuje się , tj.
co można zapisać równoważnie używając greckiej litery :
Definicja 2 Definicja rekurencyjna silni:
Przykłady
Obliczanie komputerowe Ze względu na szybki wzrost wartości silni w obliczeniach komputerowych może wystąpić przekroczenie zakresu liczb całkowitych. Jeśli wynik przechowywany jest w zmiennej 32-bitowej (ze znakiem lub bez), to przepełnienie nastąpi już dla Dla zmiennej 64-bitowej przepełnienie nastąpi dla n = 7 n! = 5040 n = 8 n! = 40320 n = 9 n! = 362880 n = 10 n! = 3628800 n = 11 n! = 39916800 n = 12 n! = 479001600 n = 13 int overflowProblem dokładnych obliczeń wartości silni został rozwiązany z chwilą wprowadzenia arytmetyki dowolnej precyzji, która operuje na liczbach całkowitych dowolnego rozmiaru (ograniczeniem jest tu zasadniczo jedynie dostępna pamięć RAM komputera). Podane wartości silni w tabeli powyżej dla bardzo wielkich liczb mogą zostać precyzyjnie obliczone tą właśnie metodą.
Przybliżenia wartość silni i jej logarytmu thumb|Porównanie silni, przybliżenia Stirlinga oraz przybliżenia w skali podwójnie logarytmicznej.|249x249px thumb|Błąd względny obciętego szeregu Stirlinga w zależności od liczby wyrazów.|249x249px
Gdy nie jest konieczne uzyskanie dokładnej wartości silni, to wygodne jest wykorzystanie jej przybliżeń.
(1) Przybliżenie za pomocą wzoru Stirlinga:
(2) Wyrazy szeregu w nawiasie powyższego wzoru są coraz mniejsze; dla dużych można ograniczyć się do pierwszego wyrazu
(3) Z powyższego wzoru wynika wzór na postać logarytmu naturalnego silni:
(4) Przydatne jest również oszacowanie:
gdzie to tzw. małe o, co oznacza, że dla rosnących wartości wartość jest coraz mniejsza od formalnie wyraża to wzór: . Symbol oznacza granicę ciągu liczbowego.
(5) Inne przybliżenie silni:
gdzie wykładnik spełnia nierówności
Właściwości Podstawowa własność silni
Tempo wzrostu silni thumb|Wykres logarytmu naturalnego silni ln(x!) Wzrost funkcji wraz ze wzrostem jest szybszy niż wzrost wykładniczy funkcji , ale wolniejszy niż .
Dla dużych wartości n tempo wzrostu silni jest proporcjonalne do ale odwrotnie proporcjonalne do czynnika wykładniczego .
Rozkład silni na czynniki pierwsze Lemat Jeżeli liczba rozkłada się na czynniki pierwsze takie że
to wykładnik liczby pierwszej oblicza się ze wzoru
gdzie oznacza część całkowitą liczby
Liczba zer na końcu zapisu dziesiętnego silni Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym gdzie jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru
przy czym wyznacza się z nierówności
Przykłady
(1) Dla mamy , czyli liczba ma na końcu zer. Dokładne obliczenie za pomocą arytmetyki wielkiej precyzji potwierdza to, gdyż
(2) Jeżeli to nierówności są spełnione przez w tym wypadku mamy co oznacza że silnie liczb nie mają zer na końcu; jest to zgodne z tabelą podana na początku artykułu.
Historia Oznaczenie dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.
Zastosowania Silnia pozwala zwięźle zapisać wzory i zależności z różnych działów matematyki jak: analiza matematyczna, np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać geometria -wymiarowa, np. stosunek miary -wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy kombinatoryka, np. liczba wszystkich permutacji zbioru -elementowego jest równa
Powiązane ciągi i inne funkcje mały|Wykres silni, funkcji gamma i aproksymacji Stirlinga
Faktorion Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego nosi nazwę faktorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585.
Funkcja gamma
link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Generalized_factorial_function_more_infos.svg|mały|Funkcja gamma (przesunięta o jedną jednostkę w lewo, aby odpowiadała silni) stanowi ciągłe uogólnienie silni na argumenty inne niż naturalne. Tu pokazano wykres funkcji gamma dla liczb rzeczywistych. Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia zależność rekurencyjną
Ponieważ , więc z powyższego wynika
dla wszystkich liczb naturalnych
Funkcja jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.