Ciało słabo uporządkowane – ciało Artin nie zakładał przemienności mnożenia w ciele. o co najmniej trzech elementach, w którym określona jest binarna relacja porządkująca liniowo spełniająca następujące aksjomaty: Dla dowolnego ustalonego elementu odwzorowanie albo zachowuje, albo odwraca porządek w ciele Niektóre elementy mogą zachowywać porządek, a inne mogą je odwracać.. Dla dowolnego ustalonego Zbiór jest multiplikatywną grupą elementów niezerowych ciała odwzorowanie albo zachowuje, albo odwraca porządek w ciele Nie jest natomiast nakładane żadne ograniczenie na odwzorowanie .
Mówimy, że w ciele słabo uporządkowanym elementy tworzą łańcuch, jeśli lub Aksjomaty oznaczają, że oba przekształcenia odwzorowują łańcuch na łańcuch. Założenie, że ciało ma więcej niż dwa elementy oznacza, że są w nim co najmniej dwa łańcuchy.
Własności nie może być ciałem charakterystyki 2. Dowód. Jeśli są trzema różnymi elementami ciała słabo uporządkowanego o charakterystyce 2. Do rozważenia są dwa przypadki: i) Jeżeli tworzą one łańcuch to jeśli do każdego elementu łańcucha doda się to otrzyma się łańcuch a jeśli element to otrzyma się łańcuch co daje łańcuch który jest sprzeczny z łańcuchem wyjściowym. ii) Jeżeli tworzą one łańcuch to jeśli do każdego elementu łańcucha doda się to otrzyma się łańcuch a jeśli element to otrzyma się łańcuch Zatem elementy tworzą albo łańcuch albo łańcuch W obu przypadkach otrzymujemy sprzeczność z łańcuchem wyjściowym. Zatem ciało nie może mieć charakterystyki 2. Ciało słabo uporządkowane jest ciałem uporządkowanym.
Związek z geometrią uporządkowania Ciała słabo uporządkowane są kanonicznie związane z możliwymi geometriami uporządkowania na płaszczyźnie: Geometria uporządkowania na płaszczyźnie kanonicznie indukuje słabo uporządkowane ciało a słabo uporządkowane ciało indukuje kanonicznie uporządkowanie na płaszczyźnieArtin, op. cit., s. 106–110..
Zobacz też ciało uporządkowane geometria uporządkowania Zgodność relacji z działaniem
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Rodzaje ciał Kategoria:Porządki