Miara Lebesgue’a (czyt. „lebega”) – miara podzbiorów przestrzeni rzeczywistej, w ogólności wielowymiarowej , będąca uogólnieniem takich miar jak długość odcinka czy długość krzywej, pole powierzchni, objętość na złożone podzbiory przestrzeni rzeczywistej, którym nie można było przypisać wcześniej używanych miar. Np. miara Jordana załamywała się przy próbie przypisania miary zbiorowi Cantora.
Definicja miary Lebesgue'a opiera się na definicji miary zewnętrznej Lebesgue’a , która jest określona na zbiorze wszystkich podzbiorów przestrzeni rzeczywistej . Miara zewnętrzna Lebesgue’a jest niezmiennicza na przesunięcia oraz przedziałom jednostkowym przypisuje wartość 1, co znaczy, że jest odpowiednia do pomiaru wielkości geometrycznych, jak długość, pole powierzchni, objętość, itd. Miara ta nie jest jednak przeliczalnie addytywna, co oznacza, że miara sumy zbiorów rozłącznych może być mniejsza niż suma miar tych zbiorów.
Właściwa miara Lebesgue'a nie ma już tej wady (tzn. jest przeliczalnie addytywna): jest równa mierze zewnętrznej Lebesgue'a, ale jej dziedzina jest ograniczona do zbiorów spełniających warunek Carathéodory’ego; zbiory te tworzą σ-ciało, które jest dziedziną miary Lebesgue’a. (Zgodnie z wymogami teorii miary dziedziną każdej dobrze określonej miary musi być pewne σ-ciało zbiorów i tylko zbiorom z tego σ-ciała miara przypisuje wartości liczbowe). Miara Lebesgue'a jest zupełna, co oznacza, że wszystkie podzbiory zbiorów o mierze zerowej są również mierzalne i mają miarę zero. Każdy zbiór borelowski jest mierzalny w sensie Lebesgue’a; zbiór Cantora ma miarę 0, zaś niemierzalny jest np. zbiór Vitaliego.
Definicja miary Lebesgue’a pochodzi z pracy Henriego Lebesgue’a (dysertacja)., która dotyczyła rozszerzenia pojęcie całki na znacznie szerszą klasę funkcji niż całka Riemanna (tzw. całka Lebesgue’a).
Miara Lebesgue'a a teoria miary Teoria miary niemal od początku stawiała pytanie, czy istnieje miara o następujących własnościach: miara jest określona dla wszystkich podzbiorów przestrzeni rzeczywistej , to znaczy dziedziną jest zbiór potęgowy zbioru liczb rzeczywistych, dowolny przedział liczb rzeczywistych , ma miarę ; w szczególności przedział ma miarę , miara jest niezmiennicza na przesunięcia, tzn. dla każdego przesunięcia i dla każdego zbioru w przestrzeni rzeczywistej
W powszechnie akceptowanej teorii zbiorów z aksjomatem wyboru (bądź z jego słabszymi formami, wynikającymi z twierdzenia o ideale pierwszym) nie istnieje miara spełniająca warunki 1. 2. i 3. Miara Lebesgue'a spełnia warunki 2. i 3., a zamiast warunku 1. podaje kryterium, które dzieli wszystkie możliwe zbiory zbioru liczb rzeczywistych na mierzalne oraz na niemierzalne.
Konstrukcja miary Lebesgue’a Przedstawiona tu konstrukcja korzysta z pojęcia miary zewnętrznej i odnoszącego się do niej twierdzenia Carathéodory’ego.
Niech oznacza -wymiarowy przedział domknięty , gdzie .
Def. Przedział niepusty nazywamy ograniczonym, jeżeli długości wszystkich jego krawędzie są liczbami skończonymi nieujemnymi.
Def. d-wymiarową objętością przedziału ograniczonego nazywamy liczbę taką że
tj. objętość -wymiarowego przedziału jest iloczynem długości krawędzi .
Objętość zbioru pustego przyjmuje się jako równa 0, tj.
Uwaga: Dla przedział ograniczony jest odcinkiem, a – długością odcinka . Jeżeli , to jest prostokątem, a – polem prostokąta. Jeżeli , to jest prostopadłościanem, a – objętością prostopadłościanu. -wymiarowa objętość przedziału jest więc uogólnieniem pojęcia długości odcinka, pola prostokąta i objętości prostopadłościanu.
Def. Miarą zewnętrzną Lebesgue’a
zbioru nazywamy miarę zewnętrzną wyznaczoną przez funkcję ,
gdzie oznacza kres dolny, a to d-wymiarowe przedziały w , których suma pokrywa zbiór mierzony.
Czyli: Miara zewnętrzna Lebesgue’a zbioru jest kresem dolnym liczb, będących sumami objętości zbiorów (domkniętych przedziałów -wymiarowych), tworzących przeliczalne rodziny i takie, że sumy mnogościowe zbiorów tych rodzin zawierają zbiór .
Uwaga: Nazwa "miara zewnętrzna" pochodzi stąd, że do mierzenia wybiera się pokrycia zbioru (i szuka najmniejszego możliwego pokrycia), które zawiera zbiór , . Na rysunkach pokazano przybliżenia miary zewnętrznej figury za pomocą pokryć o coraz mniejszej całkowitej powierzchni (). Dalsze zmniejszanie boków kwadratów pokrycia prowadzi do coraz dokładniejszego przybliżenia miary zewnętrznej; kres dolny tych przybliżeń jest miarą zewnętrzną mierzonej figury (i wynosi tu 9,42).
Def. Zbiór nazywamy mierzalnym w sensie Lebesgue’a w przestrzeni , jeżeli jest on mierzalny w sensie Carathéodory’ego względem miary tzn. dla każdego zbioru spełniony jest warunek Carathéodory’ego:
Def. Miarą Lebesgue’a w przestrzeni nazywamy miarę zewnętrzną w przestrzeni , której dziedzina jest ograniczona do rodziny zbiorów spełniających warunek Carathéodory’ego, co formalnie zapisujemy
przy czym dowodzi się, że rodzina zbiorów tworzy -ciało przestrzeni .
Tw. Miara Lebesgue’a jest miarą zupełną na (tj. każdy podzbiór zbioru miary Lebesgue’a zero jest mierzalny i miary zero). Rodzina wszystkich zbiorów o mierze Lebesgue'a jest identyczna z rodziną wszystkich zbiorów o mierze zewnętrznej .
Dowód: Własność ta wynika bezpośrednio z twierdzenia Carathéodory’ego.
Tw. Miara Lebesgue’a zbioru ograniczonego (tj. takiego, który da się zawrzeć w -wymiarowym przedziale ograniczonym) jest liczbą skończoną. Każdy zbiór da się przedstawić w postaci sumy zbiorów ograniczonych , tj.
W szczególności Wynika stąd natychmiast:
Tw. Miara Lebesgue'a jest miarą półskończoną na .
Inne konstrukcje miary Lebesgue'a
Konstrukcja Lebesgue’a W oryginalnej konstrukcji Lebesgue’a i jej wariantach wraz z niezbędnymi zmianami (a wśród nich, w nakreślonej wyżej konstrukcji Carathéodory’ego) nie korzysta się z jakiejkolwiek teorii całkowania. Operuje się jedynie na funkcjonałach określonych na podzbiorach zbioru potęgowego, a dopiero mając do dyspozycji miarę buduje się teorię całkowania funkcji.
Konstrukcja reprezentacyjna Dowód twierdzenia Riesza o reprezentacji sugeruje inne podejście. Rozpoczyna się od prostszej teorii całki (zwykle całki Riemanna), która umożliwia całkowanie szczególnie prostej klasy funkcji, funkcji ciągłych na nośniku zwartym. Wychodząc od tych funkcji określa się miarę zbiorów otwartych, klasy zbiorów bogatszych niż prostopadłościany, lecz mniejszych niż klasa zbiorów borelowskich; następnie rozszerza się tę teorię miary do σ-ciała zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a w analogiczny sposób jak w dowodzie Lebesgue’a, lecz łatwiejszy technicznie. Dalsza konstrukcja ogólnej całki z miary przebiega identycznie jak w poprzedniej konstrukcji.
Konstrukcja Younga-Daniella
Trzecie podejście, zapoczątkowane przez Williama H. Younga i wznowione przez Percy’ego Daniella, polega na konstrukcji teorii całki Lebesgue’a bez uciekania się do ogólnej teorii miary, mianowicie przez operowanie funkcjonałami określonymi dla odpowiednich rodzin funkcji (funkcji półciągłych), a następnie uzyskanie konstrukcji miary niejako przy okazji konstrukcji całki.
Przykład: Miara Lebesgue’a zbioru Cantora mały|299x299px|Zbiory C0, C1, C2, C3, C4, C5 i C6|tło Rozważmy zbiór Cantora . Zbiór ten otrzymujemy z przedziału poprzez usunięcie otwartej środkowej 1/3 tego odcinka i tak w nieskończoność, tj. w każdym kolejny kroku usuwamy z aktualnie istniejących odcinków ich otwarte środkowe części o długości 1/3. Na początku mamy: a jego miara Lebesgue'a wynosi
W pierwszym kroku usuwamy przedział otwarty , otrzymując:
W drugim kroku usuwamy środkowe części obu pozostałych przedziałów. Łączna długość usuniętych przedziałów wynosi , zatem:
Ogólnie, po -tym kroku pozostaje przedziałów, z których każdy ma długość . Stąd:
Zbiór Cantora jest częścią wspólną wszystkich zbiorów , , więc jego miara wynosi
Zbiory są zstępującymi zbiorami mierzalnym oraz . Korzystając z twierdzenia o ciągłości miary z góry otrzymujemy:
Miara Lebesgue’a zbioru Cantora jest więc równa zero, pomimo że zbiór ten ma moc continuum czyli zawiera nieprzeliczalnie wiele punktów (por. Własności zbioru Cantora).
Własności cz. I Miara Lebesgue’a to miara, która jest: zupełna, wewnętrznie regularna, niezmiennicza na przesunięcia (tzn. miara dowolnego podzbioru przesuniętego o ustalony wektor w przestrzeni jest taka sama jak miara zbioru, który jest przesuwany), borelowska (określona na σ-ciele zawierającym wszystkie otwarte podzbiory przestrzeni), przypisuje miarę jednostkową (równą jeden 1) jednostkowej kostce wielowymiarowej, a w konsekwencji jest odpowiednia do wyznaczania wielkości geometrycznych zbiorów.
Własności cz. II (A) Z definicji miary Lebesgue'a wynika, że: jeżeli jest mierzalny, to mierzalne jest też jego dopełnienie, dla każdego zbioru mierzalnego jeżeli jest sumą przeliczalnie wielu rozłącznych podzbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, to też jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i jest równa sumie (skończonej bądź nieskończonej) miar tych zbiorów mierzalnych, jeżeli oraz są zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue’a, przy czym jest podzbiorem to (konsekwencja trzech powyższych), przeliczalne sumy oraz przekroje zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a są mierzalne w sensie Lebesgue’a; nie wynika to z powyższych własności, gdyż rodzina zamknięta ze względu na dopełnienia i przeliczalne sumy rozłączne nie musi być zamknięta ze względu na przeliczalne sumy:
(B) Z konstrukcji miary Lebesgue'a wynika, że: jeżeli jest iloczynem kartezjańskim przedziałów (innymi słowy: jest przedziałem wielowymiarowym), to jest mierzalny w sensie Lebesgue’a oraz gdzie oznacza długość przedziału każdy zbiór borelowski (a więc w szczególności zbiór otwarty lub zbiór domknięty) w przestrzeni euklidesowej jest mierzalny w sensie Lebesgue’a, miara Lebesgue’a jest lokalnie skończona i wewnętrznie regularna, jest więc miarą Radona, jeżeli jest zbiorem mierzalnym oraz i jest dowolnym punktem, to zbiory i są również mierzalne oraz są miary, odpowiednio, i Ogólniej, jeśli jest przekształceniem liniowym, to obraz jest mierzalny oraz jest miary każdy analityczny i koanalityczny podzbiór przestrzeni euklidesowej jest mierzalny w sensie Lebesgue’a,
(C) Dla dowolnego zbioru prawdziwe są zdania (są to jednowymiarowe wersje twierdzenia Lebesgue’a o punktach gęstości): dla prawie wszystkich
jeżeli jest mierzalny, to dla prawie wszystkich
Zbiory niemierzalne W teorii zbiorów zakładającej aksjomat wyboru dowodzi się, że istnieją podzbiory prostej niemierzalne w sensie Lebesgue'a. Giuseppe Vitali w 1905 roku dał przykład takiego zbioru (zbiór Vitalego). Innym zbiorem niemierzalnym jest zbiór BernsteinaFelix Bernstein, Zur Theorie der trigonometrischen Reihen, Sitzungsber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Natur. Kl. 60 (1908), s. 325–338..
Prawdziwe jest też ogólniejsze twierdzenie: każdy mierzalny podzbiór przestrzeni euklidesowej miary dodatniej zawiera podzbiór niemierzalny. Istnienie i natura zbiorów niemierzalnych są częstym przedmiotem badań w opisowej teorii mnogości. Następujące dwa twierdzenia są przykładami pytań rozważanych w tym kontekście:
Twierdzenie (Sierpiński, 1920) Istnieją takie podzbiory i zbioru liczb rzeczywistych, że niemierzalny jest zbiór .
Twierdzenie (Cichoń-Morayne-Rałowski-Ryll-Nardzewski-Żeberski, 2001) Istnieje taki podzbiór zbioru Cantora zawartego w przedziale że niemierzalny jest zbiór .
Stefan Banach rozważał problem możliwości rozszerzenia miary Lebesgue’a do rodziny wszystkich podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych bądź znalezienia miary, która zachowa pewne własności miary Lebesgue’a i będzie określona dla każdego podzbioru prostej. W szczególności Banach zadał następujące pytanie: Czy istnieje przeliczalnie addytywna miara mierząca wszystkie podzbiory znikająca na punktach, tzn. taka, że miara zbioru jednoelementowego jest 0?