Topologia Vietorisa – dla danej przestrzeni topologicznej topologia w rodzinie złożonej ze wszystkich niepustych podzbiorów domkniętych (w hiperprzestrzeni przestrzeni ) zadana przez podbazę składającą się ze zbiorów postaci:

gdzie jest dowolnym zbiorem otwartym w . Baza tej topologii składa się ze zbiorów postaci

gdzie są otwartymi podzbiorami

Nazwa topologii pochodzi od nazwiska austriackiego matematyka Leopolda Vietorisa.

Kwestia przynależności zbioru pustego do hiperprzestrzeni Wyżej przedstawioną konstrukcję można przeprowadzić w taki sam sposób w przypadku gdy oznacza rodzinę wszystkich zbiorów domkniętych w tj. deklarując, by zbiór pusty był również elementem . Wówczas jest on punktem izolowanym w z topologią Vietorisa ponieważ z otwartoci zbioru pustego wynika, że

Symbolem (zob. kwestię oznaczeń) oznacza się podprzestrzeń przestrzeni złożoną z niepustych podzbiorów zwartych przestrzeni , chociaż niektórzy autorzy symbol ten rezerwują do wyżej zdefiniowanej przestrzeni .

Związek z metryką Hausdorffa Jeśli jest przestrzenią metryczną a jest metryką Hausdorffa na związaną z metryką to topologia Vietorisa jest zgodna z metryką Hausdorffa.

Wynika stąd następujący wniosek: Jeśli jest metryzowalna, to topologia Vietorisa na też jest metryzowalna.

Własności Jeśli jest ośrodkowa, to też jest ośrodkowa. Istotnie, jeśli jest przeliczalnym gęstym podzbiorem to jest skończony, jest przeliczalnym gęstym podzbiorem Jeśli jest metryzowalna w sposób zupełny, to też jest metryzowalna w sposób zupełny. Jeśli jest zwarta, to też jest zwarta. Jeśli jest zerowymiarowa, to też jest zerowymiarowa. Jeśli jest przestrzenią homeomorficzną ze zbiorem Cantora, to też jest homeomorficzna ze zbiorem Cantora. Przestrzeń zawiera homeomorficzną kopię przestrzeni Istotnie, dla każdych dwóch funkcji mamy gdzie i to wykresy funkcji odpowiednio i

Zobacz też topologia Fella

Przypisy

Bibliografia

S.B. Nadler, Jr., Hyperspaces of sets, „Monographs and Textbooks in Pure and Applied Math.”, Vol. 49, Marcel Dekker, Inc., New York, N.Y., 1978.

Kategoria:Operacje na przestrzeniach topologicznych